Question

1．如圖，由y=0，x=8，y=x²圍成的曲邊三角形，在曲線OB弧上求一點(diǎn)M，使得過M所作的y=x²的切線PQ與OA，AB圍城的三角形PQA的面積最大，并求得最大值．

Answer 1

分析 設(shè) M（x₀，y₀），PQ：y=k（x-x₀）+y₀，求出y=x²的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，令x=8，y=0求得P，Q的坐標(biāo)，再求出三角形PQA的面積，再由導(dǎo)數(shù)求出最大值．

解答 解：設(shè) M（x₀，y₀），PQ：y=k（x-x₀）+y₀
則 y₀=x₀²，y′=2x|_x=x0=2x₀，
即k=2x₀所以y=2x₀（x-x₀）+y₀
令y=0則x=x₀-$\frac{{y}_{0}}{2{x}_{0}}$=$\frac{1}{2}$x₀，
即P（$\frac{{x}_{0}}{2}$，0）
令x=8則y=16x₀-x₀²，
Q（8，16x₀-x₀²）
S=S_△PAQ=$\frac{1}{2}$（8-$\frac{1}{2}$x₀）（16x₀-x₀²）
=64x₀-8x₀²+$\frac{1}{4}$x₀³，
∴S′=64-16x₀+$\frac{3}{4}$x₀²，
令S'=0，則x₀=16（舍去）或x₀=$\frac{16}{3}$，
在$\frac{16}{3}$處S'左正右負(fù)，即為極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．
即當(dāng)x₀=$\frac{16}{3}$時，S_max=$\frac{4096}{27}$

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求切線方程，求最值，考查運(yùn)算能力，是一道中檔題．