6.已知函數(shù)f(x)=$\frac{x+1}{x-1}$(x≠1)
(1)證明f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù);
(2)令g(x)=lnf(x),判斷g(x)=lnf(x)的奇偶性并加以證明.

分析 (1)分離常數(shù)得到$f(x)=1+\frac{2}{x-1}$,根據(jù)減函數(shù)的定義,設任意的x1>x2>1,然后作差,通分,證明f(x1)<f(x2)即得出f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù);
(2)先求出$g(x)=ln\frac{x+1}{x-1}$,然后求g(x)的定義域,并根據(jù)對數(shù)的運算求出g(-x)=-g(x),這樣便得出g(x)為奇函數(shù).

解答 解:(1)證明:$f(x)=1+\frac{2}{x-1}$,設x1>x2>1,則:
$f({x}_{1})-f({x}_{2})=\frac{2}{{x}_{1}-1}-\frac{2}{{x}_{2}-1}$
=$\frac{2({x}_{2}-{x}_{1})}{({x}_{1}-1)({x}_{2}-1)}$;
∵x1>x2>1;
∴x2-x1<0,x1-1>0,x2-1>0;
∴$\frac{2({x}_{2}-{x}_{1})}{({x}_{1}-1)({x}_{2}-1)}<0$;
∴f(x1)<f(x2);
∴f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù);
(2)$lnf(x)=ln\frac{x+1}{x-1}$;
∴$g(x)=ln\frac{x+1}{x-1}$;
解$\frac{x+1}{x-1}>0$得,x<-1,或x>1;
$g(-x)=ln\frac{-x+1}{-x-1}=ln\frac{x-1}{x+1}=-ln\frac{x+1}{x-1}=-g(x)$;
∴g(x)為奇函數(shù).

點評 考查分離常數(shù)法的運用,減函數(shù)的定義,根據(jù)減函數(shù)定義證明一個函數(shù)為減函數(shù)的方法和過程,函數(shù)奇偶性的定義,以及判斷函數(shù)奇偶性的方法.

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