Question

10．在銳角三角形ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c．若a=2bsinC，則tanA+tanB+tanC的最小值是（　�。�

• A． 4
• B． $3\sqrt{3}$
• C． 8
• D． $6\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意求得tanB+tanC=2tanBtanC ①，tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC ②，化簡tanA+tanB+tanC，利用基本不等式求得它的最小值．

解答 解：在銳角三角形ABC 中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC．
∵a=2bsinC，∴sinA=2sinBsinC，∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，
化簡可得tanB+tanC=2tanBtanC  ①．
∵tanA=-tan（B+C）=$\frac{tanB+tanC}{tanBtanC-1}$＞0，∴tanB+tanC=tanA（tanBtanC-1），
∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC ②，且tanB•tanC-1＞0．
則tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC=$\frac{tanB+tanC}{tanBtanC-1}$•tanBtanC，令tanB•tanC-1=m，則m＞0，
故tanA+tanB+tanC=$\frac{tanB+tanC}{m}$•（m+1）=$\frac{2tanBtanC}{m}$•（m+1）=$\frac{2m+2}{m}$•（m+1）=$\frac{{2（m+1）}^{2}}{m}$=4+2m+$\frac{2}{m}$≥4+2$\sqrt{4}$=8，
當(dāng)且僅當(dāng)2m=$\frac{2}{m}$，即m=1時，取等號，此時，tanB•tanC=2，
故tanA+tanB+tanC的最小值是8，
故選：C．

點評 本題主要考查誘導(dǎo)公式，兩角和差的正切公式，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．