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已知函數y=x+
a
x
有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在（0，
a
上是減函數，在
a
，+∞）上是增函數．
（1）如果函數y=x+
2b
x
在（0，4）上是減函數，在（4，+∞）上是增函數，求實常數b的值；
（2）設常數c∈1，4，求函數f（x）=x+
c
x
（1≤x≤2）的最大值和最小值．
分析：（1）根據函數y=x+
a
x
的性質可知
2b
=4，從而可求出b的值；
（2）討論
c
是否在定義域內，從而可求出函數的最小值，討論c可確定f（1）與f（2）的大小，從而求出函數的最大值．
解答：解：（1）由函數y=x+
a
x
的性質知：y=x+
2b
x
在（0，
2b
）上是減函數，在（
2b
，+∞）上是增函數，
∴
2b
=4，∴2b=16=24，∴b=4．
（2）∵c∈（1，4），∴
c
∈1，2．
又∵f（x）=x+
c
x
在（0，
c
）上是減函數，在（
c
，+∞）上是增函數，
∴
c
∈[1，2]時，當x=
c
時，函數取得最小值2 
c
．
又f（1）=1+c，f（2）=2+
c
2
，
f（2）-f（1）=1-
c
2
．
當c∈（1，2）時，f（2）-f（1）＞0，f（2）＞f（1），
此時f（x）的最大值為f（2）=2+
c
2
．
當c=2時，f（2）-f（1）=0，f（2）=f（1），
此時f（x）的最大值為f（2）=f（1）=3．
當c∈（2，4時，f（2）-f（1）＜0，f（2）＜f（1），
此時f（x）的最大值為f（1）=1+c．
綜上所述，函數f（x）的最小值為2
c
；
當c∈（1，2）時，函數f（x）的最大值為2+
c
2
；
當c=2時，函數f（x）的最大值為3；
當c∈（2，4）時，函數f（x）的最大值為1+c．
點評：本題主要考查了新定義，以及函數的最大值和最小值，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=x+
a
x
有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在（0，
a
]上是減函數，在[
a
，+∞）上是增函數．
（Ⅰ）如果函數y=x+
2b
x
（x＞0）的值域為[6，+∞），求b的值；
（Ⅱ）研究函數y=x2+
c
x2
（常數c＞0）在定義域內的單調性，并說明理由；
（Ⅲ）對函數y=x+
a
x
和y=x2+
a
x2
（常數a＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數的特例．研究推廣后的函數的單調性（只須寫出結論，不必證明），并求函數F（x）=（x2+
1
x
）n+（
1
x2
+x）n（n是正整數）在區(qū)間[
1
2
，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結論）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=x+
a
x
旦（a＞0）有如下的性質：在區(qū)間（0，
a
]上單調遞減，在[
a
，+∞）上單調遞增．
（1）如果函數f（x）=x+
2b
x
在（0，4]上單調遞減，在[4，+∞）上單調遞增，求常數b的值．
（2）設常數a∈[l，4]，求函數y=x+
a
x
在x∈[l，2]的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=x+
a
x
（x＞0）有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在（0，
a
]上是減函數，在[
a
，+∞）上是增函數．
（1）如果函數y=x+
b2
x
（x＞0）的值域為[6，+∞），求b的值；
（2）研究函數y=x2+
c
x2
（x＞0，常數c＞0）在定義域內的單調性，并用定義證明（若有多個單調區(qū)間，請選擇一個證明）；
（3）對函數y=x+
a
x
和y=x2+
a
x2
（x＞0，常數a＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數的特例．研究推廣后的函數的單調性（只須寫出結論，不必證明），并求函數F（x）=(x2+
1
x
)2+(
1
x2
+x)2在區(qū)間[
1
2
，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結論）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=x+
a
x
有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在(0，
a
]上是減函數，在[
a
，+∞)上是增函數，
（1）如果函數y=x+
3m
x
(x＞0)的值域是[6，+∞），求實數m的值；
（2）研究函數f(x)=x2+
a
x2
（常數a＞0）在定義域內的單調性，并說明理由；
（3）若把函數f(x)=x2+
a
x2
（常數a＞0）在[1，2]上的最小值記為g（a），求g（a）的表達式．

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