Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB=1．
（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC與PB所成的角的余弦值；
（Ⅲ）求線BP與面PAC所成角的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角,空間向量及應用

分析：利用向量法求解：
以點A為坐標原點，射線AD為x軸正半軸，射線AB為y軸正半軸，射線AP為z軸正半軸建立空間直角坐標系．
對于第（1）問，求出平面PAD的一個法向量和平面PCD的一個法向量，要證明兩平面垂直，只需說明這兩個法向量互相垂直即可；
對于第（2）問，由cos＜

AC

，

BP

＞=

AC • BP

| AC || BP |

，可探求AC與PB所成的角的余弦值；
對于第（3）問，先求出平面PAC的一個法向量，再求得此法向量與向量

BP

所成角的余弦值，根據(jù)此余弦值與直線BP與面PAC所成角的余弦值的關系可達到目的．

解答： 解：如右圖所示，以點A為坐標原點，射線AD為x軸正半軸，射線AB為y軸正半軸，射線AP為z軸正半軸建立空間直角坐標系．
由題中條件得A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），

AP

=(0，0，1)，

AB

=(0，2，0)，

DC

=(0，1，0)，

DP

=(-1，0，1)，

AC

=(1，1，0)，

BP

=(0，-2，1)．
（Ⅰ）證明：設向量

n1

=（x₁，y₁，z₁）是平面PDC的法向量，
則由

DC • n1 =0 DP • n1 =0

，得

(0，1，0)•(x1，y1，z1)=0 (-1，0，1)•(x1，y1，z1)=0

，即

y1=0 -x1+z1=0

，
取x₁=1，得

n1

=(1，0，1)，顯然向量

AB

是平面PAD的一個法向量，
由

n1

•

AB

=0，知

n1

⊥

AB

，從而平面PAD⊥平面PCD，得證．
（Ⅱ）則cos＜

AC

，

BP

＞=

AC • BP

| AC || BP |

=

-2

2 5

=-

10

5

，又異面直線AC與PB所成角的范圍是（0，

π

2

]，
所以直線AC與PB所成角的余弦值為

10

5

．
（Ⅲ）設向量

n2

=(x2，y2，z2)是平面PAC的法向量，則

n2 • AP =0 n2 • AC =0

，
即

(x2，y2，z2)•(0，0，1)=0 (x2，y2，z2)•(1，1，0)=0

，得

z2=0 x2+y2=0

，
取x₂=1，則

n2

=(1，-1，0)，從而cos＜

n2

，

BP

＞=

n2 • BP

| n2 || BP |

=

2

2 × 5

=

2

5

．
設直線BP與平面PAC所成角為θ，則sinθ=

2

5

，從而cosθ=

3

5

=

15

5

，即直線BP與平面PAC所成角的余弦值為

15

5

．

點評：本題考查了兩平面垂直的判定方法，兩異面直線所成角的求法及線面角的求法，求解時應注意以下幾點：
（1）首先應根據(jù)幾何體的特點，選擇三個兩兩垂直的方向，建立空間直角坐標系，標出所需的點及向量的坐標，再利用夾角公式進行計算，注意弄清由夾角公式得到的角與所求角的關系；
（2）找平面的法向量是關鍵，有時可直接觀察出平面的法向量，這樣可省去一些計算；
（3）坐標法是將嚴密的邏輯推理轉化為坐標運算，一般很少添加其他輔助線，但有時計算繁瑣，且易出錯．