【題目】已知橢圓的兩焦點(diǎn)為,且過(guò)點(diǎn),直線(xiàn)交曲線(xiàn),兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)若不過(guò)點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸,記線(xiàn)段的中點(diǎn)為,求證:直線(xiàn)的斜率與的斜率的乘積為定值;

3)若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn),求面積的最大值,以及取最大值時(shí)直線(xiàn)的方程.

【答案】12)見(jiàn)解析 3)最大值.

【解析】

1)根據(jù)焦點(diǎn)求得,結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)列方程組,解方程組求得,進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2)設(shè)出直線(xiàn)的方程,聯(lián)立直線(xiàn)的方程和橢圓方程,寫(xiě)出韋達(dá)定理,由此計(jì)算出為定值.

3)設(shè)出直線(xiàn)的方程,聯(lián)立直線(xiàn)的方程和橢圓方程,寫(xiě)出韋達(dá)定理,根據(jù)弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式,求得面積的表達(dá)式,利用換元法,結(jié)合基本不等式求得面積的最大值,以及此時(shí)直線(xiàn)的方程.

1)由題意知有,且,解得,∴.

2)證明:設(shè)直線(xiàn)的方程為

設(shè),,

則由可得,即,

,∴,

,

∴直線(xiàn)的斜率與的斜率的乘積為定值.

3)點(diǎn),,

可得

,解得

,

.

設(shè),

,

,

當(dāng)時(shí),取得最大值.

此時(shí),即,

所以直線(xiàn)方程是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某個(gè)公園有個(gè)池塘,其形狀為直角△ABC∠C=90°,AB=2百米,BC=1百米.

(1)現(xiàn)在準(zhǔn)備養(yǎng)一批供游客觀(guān)賞的魚(yú),分別在AB、BC、CA上取點(diǎn)D,EF,如圖(1),使得EF‖AB,EF⊥ED,在△DEF喂食,求△DEF 面積SDEF的最大值;

(2)現(xiàn)在準(zhǔn)備新建造一個(gè)荷塘,分別在AB,BC,CA上取點(diǎn)DE,F,如圖(2),建造△DEF

連廊(不考慮寬度)供游客休憩,且使△DEF為正三角形,求△DEF邊長(zhǎng)的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)處取得極小值

(1)求實(shí)數(shù)的值;

(2)設(shè),討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展,人民生活水平得到很大提高,汽車(chē)已經(jīng)進(jìn)入千千萬(wàn)萬(wàn)的家庭.大部分的車(chē)主在購(gòu)買(mǎi)汽車(chē)時(shí),會(huì)在轎車(chē)或者中作出選擇,為了研究某地區(qū)哪種車(chē)型更受歡迎以及汽車(chē)一年內(nèi)的行駛里程,某汽車(chē)銷(xiāo)售經(jīng)理作出如下統(tǒng)計(jì):

購(gòu)買(mǎi)了轎車(chē)(輛)

購(gòu)買(mǎi)了(輛)

歲以下車(chē)主

歲以下車(chē)主

(I)根據(jù)表,是否有的把握認(rèn)為年齡與購(gòu)買(mǎi)的汽車(chē)車(chē)型有關(guān)?

(II)圖給出的是名車(chē)主上一年汽車(chē)的行駛里程,求這名車(chē)主上一年汽車(chē)的平均行駛里程(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

(III)用表中的頻率估計(jì)概率,隨機(jī)調(diào)查歲以下車(chē)主,設(shè)其中購(gòu)買(mǎi)了轎車(chē)的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】個(gè)不同的紅球和個(gè)不同的白球,放入同一個(gè)袋中,現(xiàn)從中取出個(gè)球.

1)若取出的紅球的個(gè)數(shù)不少于白球的個(gè)數(shù),則有多少種不同的取法;

2)取出一個(gè)紅球記分,取出一個(gè)白球記分,若取出個(gè)球的總分不少于分,則有多少種不同的取法;

3)若將取出的個(gè)球放入一箱子中,記“從箱子中任意取出個(gè)球,然后放回箱子中”為一次操作,如果操作三次,求恰有一次取到個(gè)紅球并且恰有一次取到個(gè)白球的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】2018年,中國(guó)某省的一個(gè)地區(qū)社會(huì)民間組織為年齡在30歲-60歲的圍棋愛(ài)好者舉行了一次晉級(jí)賽,參賽者每人和一位種子選手進(jìn)行一場(chǎng)比賽,贏了就可以晉級(jí),否則,就不能晉級(jí),結(jié)果將晉級(jí)的200人按年齡(單位:歲)分成六組:第一組,第二組,第三組,第四組,第五組,第六組,下圖是按照上述分組方法得到的頻率分布直方圖.

(1)求實(shí)數(shù)的值;

(2)若先在第四組、第五組、第六組中按組分層抽樣共抽取10人,然后從被抽取的這10人中隨機(jī)抽取3人參加優(yōu)勝比賽.

①求這三組各有一人參加優(yōu)勝比賽的概率;

②設(shè)為參加優(yōu)勝比賽的3人中第四組的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】ABC中,A(0,1)AB邊上的高CD所在直線(xiàn)的方程為x2y40,AC邊上的中線(xiàn)BE所在直線(xiàn)的方程為2xy30.

(1)求直線(xiàn)AB的方程;

(2)求直線(xiàn)BC的方程;

(3)BDE的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是,離心率為

)求橢圓的方程;

)已知矩形的四條邊都與橢圓相切,設(shè)直線(xiàn)AB方程為,求矩形面積的最小值與最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知拋物線(xiàn).

(Ⅰ)是拋物線(xiàn)上不同于頂點(diǎn)的兩點(diǎn),若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn),試證明直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,拋物線(xiàn)在、處的切線(xiàn)相交于點(diǎn),求面積的取值范圍.

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