Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²+2aln（1-x）（a∈R），試求：
（1）當a=-2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若f（x）在[-1，1）上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）若f（x）在[-1，1）上是單調(diào)函數(shù)，則[-1，1）必為函數(shù)某一單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間，先帶著參數(shù)a求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再比較[-1，1）區(qū)間端點與函數(shù)的幾個單調(diào)區(qū)間的端點大小，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）f（x）=-4ln（1-x）+x²，定義域為（-∞，1），
f′（x）=2x+$\frac{4}{1-x}$=$\frac{-2（x-2）（x+1）}{1-x}$，
令f'（x）＞0，解得：得x＞-1，令f′（x）＜0，解得：x＜-1，
故f（x）在（-1，1）遞增，在（-∞，-1）遞減，
f（x）_極小值=f（-1）=1-4ln2．
（2）f′（x）=2x-$\frac{2a}{1-x}$，若f'（x）≥0，
即2x-$\frac{2a}{1-x}$≥0⇒a≤[x（1-x）]_min⇒a≤-2，
若f'（x）≤0，即2x-$\frac{2a}{1-x}$≤0⇒a≥[x（1-x）]_max⇒a≥$\frac{1}{4}$，
所以a≤-2或a≥$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求極值，單調(diào)區(qū)間，以及導(dǎo)數(shù)和數(shù)列的綜合應(yīng)用．