Question

15．半徑為1的球O內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正三棱柱，當(dāng)正三棱柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該正三棱柱的側(cè)面積之差是4π-3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)球心為O點(diǎn)，上下底面的中心分別為O₁，O₂．設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)與高分別為x，h．可得O₂A=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．在Rt△OAO₂中，利用勾股定理可得$\frac{{h}^{2}}{4}+\frac{1}{3}{x}^{2}$=1，由于S_側(cè)=3xh，可得S_側(cè)²=9x²h²=12x²（3-x²）$≤12（\frac{{x}^{2}+3-{x}^{2}}{2}）^{2}$，即可得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)球心為O點(diǎn)，上下底面的中心分別為O₁，O₂．
設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)與高分別為x，h．
則O₂A=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
在Rt△OAO₂中，$\frac{{h}^{2}}{4}+\frac{1}{3}{x}^{2}$=1，
化為h²=4-$\frac{4}{3}$x²．
∵S_側(cè)=3xh，
∴S_側(cè)²=9x²h²=12x²（3-x²）$≤12（\frac{{x}^{2}+3-{x}^{2}}{2}）^{2}$=27．
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$時(shí)取等號(hào)，S_側(cè)=3$\sqrt{3}$．
∴球的表面積與該正三棱柱的側(cè)面積之差是4π-3$\sqrt{3}$，
故答案為：4π-3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正三棱柱的性質(zhì)、勾股定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．