Question

15．半徑為1的球O內有一個內接正三棱柱，當正三棱柱的側面積最大時，球的表面積與該正三棱柱的側面積之差是4π-3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如圖所示，設球心為O點，上下底面的中心分別為O₁，O₂．設正三棱柱的底面邊長與高分別為x，h．可得O₂A=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．在Rt△OAO₂中，利用勾股定理可得$\frac{{h}^{2}}{4}+\frac{1}{3}{x}^{2}$=1，由于S_側=3xh，可得S_側²=9x²h²=12x²（3-x²）$≤12（\frac{{x}^{2}+3-{x}^{2}}{2}）^{2}$，即可得出．

解答 解：如圖所示，
設球心為O點，上下底面的中心分別為O₁，O₂．
設正三棱柱的底面邊長與高分別為x，h．
則O₂A=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
在Rt△OAO₂中，$\frac{{h}^{2}}{4}+\frac{1}{3}{x}^{2}$=1，
化為h²=4-$\frac{4}{3}$x²．
∵S_側=3xh，
∴S_側²=9x²h²=12x²（3-x²）$≤12（\frac{{x}^{2}+3-{x}^{2}}{2}）^{2}$=27．
當且僅當x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$時取等號，S_側=3$\sqrt{3}$．
∴球的表面積與該正三棱柱的側面積之差是4π-3$\sqrt{3}$，
故答案為：4π-3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正三棱柱的性質、勾股定理、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．