Question

4．已知函數(shù)f（x）=-x+$\frac{1}{2x}$，求證：
（1）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)； 
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由已知可得函數(shù)$\frac{1}{2x}$的定義域關于原點對稱，且f（-x）=-f（x）恒成立，故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)； 
（2）求導，根據(jù)x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0恒成立，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)．

解答 證明：（1）∵函數(shù)f（x）=-x+$\frac{1}{2x}$的定義域為{x|x≠0}關于原點對稱，
且f（-x）=-（-x）-$\frac{1}{2x}$=-（-x+$\frac{1}{2x}$）=-f（x），
故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)； 
（2）∵函數(shù)f（x）=-x+$\frac{1}{2x}$，
∴f′（x）=-1-$\frac{1}{2{x}^{2}}$，
當x∈（0，+∞）時，
f′（x）＜0恒成立，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調性，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，難度中檔．