已知函數(shù)m(x)=log4(4x+1),n(x)=kx(k∈R).
(1)當(dāng)x>0時(shí),F(xiàn)(x)=m(x),且F(x)為R上的奇函數(shù).求x<0時(shí),F(xiàn)(x)的表達(dá)式;
(2)若f(x)=m(x)+n(x)為偶函數(shù),求k的值;
(3)對(duì)(2)中的函數(shù)f(x),設(shè)g(x)=log4(2x-1-
43
a)
,若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)利用x>0時(shí),F(xiàn)(x)=log4(4x+1),F(xiàn)(x)為R上的奇函數(shù),可求得x<0時(shí),F(xiàn)(x)的表達(dá)式;
(2)利用偶函數(shù)的定義f(-x)=f(x)即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx,即可求得k的值;
(3)函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)?方程log4(4x+1)-
1
2
x=log4(2x-1-
4
3
a)
有且只有一個(gè)實(shí)根?2x+
1
2x
=2x-1-
4
3
a有且只有一個(gè)實(shí)根,令t=2x>0,則方程
1
2
t2+
4
3
at+1=0有且只有一個(gè)正根,利用△=0即可求得a的值.
解答:解:(1)∵x>0時(shí),F(xiàn)(x)=m(x)=log4(4x+1),
∴當(dāng)x<0時(shí),-x>0,
∴F(-x)=log4(4-x+1),又F(x)為R上的奇函數(shù),
∴-F(x)=log4(4-x+1),即F(x)=-log4(4-x+1)…(3分)
(2)∵函數(shù)f(x)=m(x)+n(x)=log4(4x+1)+kx為偶函數(shù),
∴f(-x)=f(x)即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx,…(5分)
log4(4-x+1)=log4(4x+1)-log44x=log4(4x+1)-x,
∴-x-kx=kx恒成立,
∴2k+1=0,
∴k=-
1
2
…(7分)
(3)∵函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn),
∴方程log4(4x+1)-
1
2
x=log4(2x-1-
4
3
a)
有且只有一個(gè)實(shí)根,…(8分)
化簡(jiǎn)得:方程2x+
1
2x
=2x-1-
4
3
a有且只有一個(gè)實(shí)根,…(9分)
令t=2x>0,則方程
1
2
t2+
4
3
at+1=0有且只有一個(gè)正根,
①△=0⇒a=-
3
2
4
,
②若一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根,不滿(mǎn)足題意…(11分)
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a=-
3
2
4
}…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì),以及對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,同時(shí)考查了化歸與方程的思想的綜合運(yùn)用,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
12
mx2-2x+1+ln(x+1)

(Ⅰ)當(dāng)m>0時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)m≥1時(shí),曲線(xiàn)C:y=f(x)在點(diǎn)P(0,1)處的切線(xiàn)l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求m的取值的集合M.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
ax
x2+b
,在x=1處取得極值2.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)m滿(mǎn)足什么條件時(shí),區(qū)間(m,2m+1)為函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間?
(Ⅲ)設(shè)直線(xiàn)l為曲線(xiàn)f(x)=
ax
x2+b
的切線(xiàn),求直線(xiàn)l的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
ax
x2+b
在x=1處取得極值2.
(I) 求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(II)若f(x)的定義域、值域均為[m,n],(0≤m<n)試求所有滿(mǎn)足條件的區(qū)間[m,n];
(Ⅲ)若直線(xiàn)l與f(x)=
ax
x2+b
的圖象切于點(diǎn)P(x0,y0),求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出下列命題:
①已知直線(xiàn)m,l,平面α,β,若m⊥β,l?α,α∥β,則m⊥l;
a
 •
b
>0
,是
a
b
的夾角為銳角的充要條件;
③若f(x)在R上滿(mǎn)足f(x-2)=-f(x),則f(x)是以4為周期的周期函數(shù);
④y=sin(2x+
π
3
)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是(
π
3
,0)
以上命題正確的是
①③④
①③④
(注:把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
12
x2-(3+m)x+3mlnx
,m∈R.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))為函數(shù)f(x)的圖象上任意不同兩點(diǎn),若過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線(xiàn)l的斜率恒大于-3,求m的取值范圍.

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