Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

mx2-2x+1+ln(x+1)
（Ⅰ）當(dāng)m＞0時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)m≥1時(shí)，曲線C：y=f（x）在點(diǎn)P（0，1）處的切線l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的取值的集合M．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，
（Ⅰ）把求出的導(dǎo)函數(shù)通分并分解因式后，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由題意可知點(diǎn)P在曲線C上，把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中求出的函數(shù)值即為切線方程的斜率，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和求出的斜率寫出切線的方程，與曲線C的方程聯(lián)立，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程只有一個(gè)解，設(shè)方程左邊的式子等于g（x），且得到g（0）=0，求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，分m=1和m大于1兩種情況考慮：當(dāng)m=1時(shí)，代入得到g（x）的導(dǎo)函數(shù)大于等于0，即g（x）為增函數(shù)，符合題意；當(dāng)m大于1時(shí)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)在m大于1時(shí)有零點(diǎn)，不合題意，綜上，得到滿足題意m的取值范圍．

解答：解：由題設(shè)知：f′(x)=mx-2+

1

x+1

  (x＞-1)
（Ⅰ）當(dāng)m＞0時(shí)，f′(x)=

mx2-(m-2)x-1

x+1

=

m

x+1

(x-

2-m- m2+4

2m

)(x-

m2+4 -m+2

2m

)，
而

m2+4 -m+2

2m

＞0＞

2-m- m2+4

2m

；

2-m- m2+4

2m

-(-1)=

m+2- m2+4

2m

＞0
∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為(-1，-

m-2+ m2+4

2m

)∪(

m2+4 -m+2

2m

，+∞)；
單調(diào)遞減區(qū)間為(-

m-2+ m2+4

2m

，

m2+4 -m+2

2m

)．
（Ⅱ）由題設(shè)知：P∈C，f'（0）=-1，切線l的方程為y=-x+1，
于是方程：-x+1=

1

2

mx2-2x+1+ln(x+1)，即

1

2

mx2-x+ln(x+1)=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
設(shè)g(x)=

1

2

mx2-x+ln(x+1)，得g（0）=0；
g′(x)=

mx2+(m-1)x

x+1

=

mx

x+1

[x-(

1

m

-1)]，
當(dāng)m=1時(shí)，g′(x)=

x2

x+1

≥0，g（x）為增函數(shù)，符合題設(shè)；
當(dāng)m＞1時(shí)，有-1＜

1

m

-1＜0，得x∈（0，+∞），
g'（x）＞0，g（x）在此區(qū)間單調(diào)遞增，g（x）＞0；
x∈(

1

m

-1，0)，g′(x)＜0，g(x)在此區(qū)間單調(diào)遞減，g（x）＞0；
x∈(-1，

1

m

-1)，g′(x)＞0，g(x)在此區(qū)間單調(diào)遞增，g(x)∈(-∞，g(

1

m

-1))；
此區(qū)間存在零點(diǎn)，即得m＞1不符合題設(shè)；
∴由上述知：M={1}．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，是一道中檔題．