Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=1+|2x-3|．
（1）求不等式f（x）≥|3x+1|的解集；
（2）若不等式f（x）-tx≥0的解集非空，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過對自變量x的取值范圍的分類討論，去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的一元一次不等式，分別解之，最后取并即可求得不等式f（x）≥|3x+1|的解集；
（2）f（x）=1+|2x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2，x≥\frac{3}{2}}\\{4-2x，x＜\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，作出y=f（x）與y=tx的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求得t的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=1+|2x-3|，
∴f（x）≥|3x+1|?1+|2x-3|≥|3x+1|；
當x≤-$\frac{1}{3}$時，1+3-2x≥-3x-1，解得-5≤x≤-$\frac{1}{3}$；
當-$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{3}{2}$時，1+3-2x≥3x+1，解得-$\frac{1}{3}$＜x≤$\frac{3}{5}$；
當x≥$\frac{3}{2}$時，1+2x-3≥3x+1，解得x∈∅；
綜上所述，不等式f（x）≥|3x+1|的解集為[-5，$\frac{3}{5}$]．
（2）由f（x）=1+|2x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2，x≥\frac{3}{2}}\\{4-2x，x＜\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，作出y=f（x）與y=tx的圖象，如下圖所示：

由圖知，y=f（x）的最小值點為A（$\frac{3}{2}$，1），
∵過原點的直線y=tx過點A時，t=$\frac{2}{3}$，與AC平行時，t=2，
∴-2≤t＜$\frac{2}{3}$時，y=f（x）與y=tx的圖象無交點，
∴不等式f（x）-tx≥0的解集非空時，t的取值范圍為：（-∞，-2）∪[$\frac{2}{3}$，+∞）．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，突出考查等價轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的綜合運用，屬于難題．