Question

11．已知直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{2}}{2}t+4\sqrt{2}\end{array}$（t是參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos（θ+$\frac{π}{4}$）．
（1）求圓心C的直角坐標(biāo)；
（2）由直線l上的點(diǎn)向圓C引切線，求切線長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 （1）在圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos（θ+$\frac{π}{4}$）的兩邊同時(shí)乘以ρ，即可得圓的直角坐標(biāo)方程，從而求圓心的直角坐標(biāo)；
（2）先把切線長(zhǎng)表示出來再去求最小值；

解答 解：（1）∵ρ=$\sqrt{2}$cos θ-$\sqrt{2}$sin θ，∴ρ²=$\sqrt{2}$ρcos θ-$\sqrt{2}$ρsin θ，
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$y=0．
∴圓心C的直角坐標(biāo)為：（$\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}$）
（2）直線l上的點(diǎn)向圓C引切線，切線長(zhǎng)是
$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}t-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}t+\frac{\sqrt{2}}{2}+4\sqrt{2}）^{2}-1}$=$\sqrt{{t}^{2}+8t+40}$=$\sqrt{（t+4）2+24}$≥2 $\sqrt{6}$．
∴直線l上的點(diǎn)向圓C引的切線的切線長(zhǎng)的最小值是2 $\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化，屬于中檔題．