Question

在棱長為6的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是BC的中點，點P是面DCC₁D₁所在的平面內的動點，且滿足∠APD=∠MPC，則三棱錐P-BCD的體積最大值是（　�。�

• A、36
• B、12

  3

• C、24
• D、18

  3

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：根據Rt△ADP∽△Rt△PMC，PD=2PC，利用體積公式求解得出PO⊥CD，求解OP最值，根據勾股定理得出：3h²=-3x²+48x-144，0≤x≤6，利用函數求解即可

解答： 解：∵在棱長為6的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是BC的中點，點P是面DCC₁D₁所在的平面內的動點，且滿足∠APD=∠MPC，
∴Rt△ADP∽△Rt△PMC，
∴

AD

MC

=

PD

PC

=2，
即PD=2PC，
設DO=x，PO=h，作PO⊥CD，
∴

x2+h2

=2

(6-x)2+h2

，化簡得：3h²=-3x²+48x-144，0≤x≤6，
根據函數單調性判斷：x=6時，3h²最大值為36，
h_大=2

3

，
∵在正方體中PO⊥面BCD，
∴三棱錐P-BCD的體積最大值：

1

3

×

1

2

×6×6×2

3

=12

3

，
故選：B

點評：本題考查了空間幾何體中的最值問題，關鍵是列出式子，轉化為距離問題，借助函數求解即可，屬于難題．