Question

已知橢圓C的對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)(

2

，1)，(2，

3

3

)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)（-1，0）的動(dòng)直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)M，使

MA

•

MB

為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)橢圓的方程為Ax²+By²=1（A＞0，B＞0，且A≠B），利用橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)(

2

，1)，(2，

3

3

)，建立方程組，即可求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，0），當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1），橢圓與直線方程聯(lián)立消元．根據(jù)韋達(dá)定理求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，根據(jù)題設(shè)中的向量的關(guān)系求得x₀，進(jìn)而得出M的坐標(biāo)；當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，則直線AB的方程為x=-1，求得A和B的坐標(biāo)，即可求得x₀，綜合可得答案．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的方程為Ax²+By²=1（A＞0，B＞0，且A≠B），則
∵橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)(

2

，1)，(2，

3

3

)，
∴

2A+B=1 4A+ B 3 =1

，
解得A=

1

5

，B=

3

5

，
∴橢圓C的方程為

x2

5

+

y2

5 3

=1；
（2）設(shè)A(x1，y1

)

_ 
①直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=k（x+1）
代入橢圓方程，消去y，可得（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0
則x1+x2=-

6k2 1+3k2

_ 
假設(shè)存在點(diǎn)M（x₀，0），
則

MA

•

MB

=(x1-x0，y1)•(x2-x0，y2)=(1+k2)x1x2+(k2-x0)(x1+x2)+k2+x02
=

k2(3x02+6x0-1)+x02-5

3k2+1

若

MA

•

MB

為定值，則

3x2+6x0-1

3

=

x02-5

1

，得x0=-

7

3

且

MA

•

MB

=

4

9

；
②直線l斜率不存在時(shí)，直線l：x=-1，則A(-1，-

2 3

3

)

_ 
當(dāng)M(-

7

3

，0)時(shí)，

MA

•

MB

=

4

9

．
綜上存在點(diǎn)M(-

7

3

，0)．

點(diǎn)評：本題考查了直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題，也考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，考查了一定的計(jì)算能力．