Question

5．如圖所示的多面體中，四邊形ACDF為矩形，且平面ACDF⊥平面BCDE，平面ACDF⊥平面ABC，BC=2DE，DE∥BC，CE∩BD=P．
（Ⅰ）證明：BC⊥AD．
（Ⅱ）在棱AC上找一點(diǎn)Q，使得PQ∥平面ABE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出AC⊥平面BCDE，BC⊥平面ACDF，由此能證明BC⊥AD．
（Ⅱ）推導(dǎo)出PC=2PE，過(guò)P作PM∥BE，交BC于M，過(guò)M作MQ∥AB，交AC于Q，連結(jié)PQ，則PQ∥平面ABE，此時(shí)點(diǎn)Q是線段AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)．

解答 證明：（Ⅰ）∵四邊形ACDF為矩形，且平面ACDF⊥平面BCDE，平面ACDF⊥平面ABC，
∴AC⊥CD，∴AC⊥平面BCDE，
∴AC⊥BC，∴BC⊥平面ACDF，
∵AD?平面ACDF，∴BC⊥AD．
解：（Ⅱ）∵BC=2DE，DE∥BC，CE∩BD=P，∴PC=2PE，
過(guò)P作PM∥BE，交BC于M，則CM=2BM，
過(guò)M作MQ∥AB，交AC于Q，則CQ=2AQ，
連結(jié)PQ，
∵PM∥BE，MQ∥AB，PM∩MQ=M，BE∩AB=B，
∴平面PMQ∥平面ABE，
∴PQ∥平面ABE，此時(shí)點(diǎn)Q是線段AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查滿足線面平行的點(diǎn)的位置的確定，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．