Question

10．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的焦點(diǎn)重合，離心率互為倒數(shù)，設(shè)F₁，F(xiàn)₂為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，P為右支上任意一點(diǎn)，則$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$的最小值為（　�。�

• A． 4
• B． 8
• C． 16
• D． 32

Answer 1

分析 由橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得：焦點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），離心率為$\frac{1}{2}$．雙曲線的離心率e=2=$\frac{c}{a}$，解得a=$\frac{1}{2}$．設(shè)|PF₂|=t．$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{（2a+t）^{2}}{t}$=$\frac{（1+t）^{2}}{t}$=t+$\frac{1}{t}$+2，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得：焦點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），離心率為$\frac{1}{2}$．
∴雙曲線的離心率e=2=$\frac{c}{a}$，解得a=$\frac{1}{2}$．設(shè)|PF₂|=t．
∴$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{（2a+t）^{2}}{t}$=$\frac{（1+t）^{2}}{t}$=t+$\frac{1}{t}$+2≥$2\sqrt{t•\frac{1}{t}}$+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)t=|PF₂|=1時(shí)取等號(hào)．
∴$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$的最小值為4．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與雙曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．