Question

設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時，求的最大值；（2）令，（），其圖象上任意一點處切線的斜率≤恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)，，方程有唯一實數(shù)解，求正數(shù)的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）的極大值為，此即為最大值；（2）≥；（3）．

【解析】

試題分析：（1）依題意，知的定義域為（0，+∞），當(dāng)時，，

（2′）令=0，  解得．（∵）

因為當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減。所以的極大值為，此即為最大值          4分

（2），，則有≤，在上恒成立，

所以≥，（8′）當(dāng)時，取得最大值，所以≥          8分

（3）因為方程有唯一實數(shù)解，所以有唯一實數(shù)解，

設(shè)，則．令，．

因為，，所以（舍去），，

當(dāng)時，，在（0，）上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在（，+∞）單調(diào)遞增   當(dāng)時，=0，取最小值 則既所以，因為，所以（*）設(shè)函數(shù)，因為當(dāng)時，是增函數(shù)，所以至多有一解．因為，所以方程（*）的解為，即，解得．         12分

考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（最值），不等式恒成立問題。

點評：典型題，切線的斜率，等于在切點的導(dǎo)函數(shù)值。利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，一般遵循“求導(dǎo)數(shù)、求駐點、研究導(dǎo)數(shù)的正負(fù)、確定極值”，利用“表解法”，清晰易懂。不等式恒成立問題，往往通過構(gòu)造函數(shù)，通過研究函數(shù)的最值確定參數(shù)的范圍。