Question

12．某公司準(zhǔn)備將1000萬元資金投入到市環(huán)保工程建設(shè)中，現(xiàn)有甲、乙兩個建設(shè)項目選擇，若投資甲項目一年后可獲得的利潤ξ₁（萬元）的概率分布列如表所示：

ξ1	110	120	170
P	m	0.4	n

且ξ₁的期望E（ξ₁）=120；若投資乙項目一年后可獲得的利潤ξ₂（萬元）與該項目建設(shè)材料的成本有關(guān)，在生產(chǎn)的過程中，公司將根據(jù)成本情況決定是否在第二和第三季度進(jìn)行產(chǎn)品的價格調(diào)整，兩次調(diào)整相互獨立且調(diào)整的概率分別為p（0＜p＜1）和1-p．若乙項目產(chǎn)品價格一年內(nèi)調(diào)整次數(shù)X（次數(shù)）與ξ₂的關(guān)系如表所示：

X	0	1	2
ξ2	41.2	117.6	204.0

（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）求ξ₂的分布列；
（Ⅲ）若該公司投資乙項目一年后能獲得較多的利潤，求p的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)列出方程組，能求出m，n的值．
（Ⅱ）ξ₂的可能取值為41.2，117.6，204，分雖求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ₂的分布列．
（Ⅲ）求出可得E（ξ₂），由于該公司投資乙項目一年后能獲得較多的利潤，從而E（ξ₂）＞E（ξ₁），由此能求出p的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意得$\left\{\begin{array}{l}m+0.4+n=1\\ 110m+120×0.4+170n=120\end{array}\right.$，
解得m=0.5，n=0.1．
（Ⅱ）ξ₂的可能取值為41.2，117.6，204，
P（ξ₂=41.2）=（1-p）[1-（1-p）]=p（1-p），
$P（{ξ_2}=117.6）=p[{1-（1-p）}]+（1-p）（1-p）={p^2}+{（1-p）^2}$，
P（ξ₂=204）=p（1-p），
所以ξ₂的分布列為：

ξ2	41.2	117.6	204
P	p（1-p）	p2+（1-p）2	p（1-p）

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得$E（{ξ_2}）=41.2p（1-p）+117.6[{{p^2}+{{（1-p）}^2}}]+204p（1-p）=-10{p^2}+10p+117.6$，
由于該公司投資乙項目一年后能獲得較多的利潤，
所以E（ξ₂）＞E（ξ₁），
所以-10p²+10p+117.6＞120，
解得0.4＜p＜0.6，所以p的取值范圍是（0.4，0.6）．

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．