Question

13．符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[π]=3，[-10.3]=-11，定義函數(shù){x}=x-[x]，那么下列結(jié)論中正確的序號(hào)是②③．
①函數(shù){x}的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，1]；
②方程$\{x\}=\frac{1}{2}$有無(wú)數(shù)解；
③函數(shù){x}是周期函數(shù)；
④函數(shù){x}在[n，n+1]（n∈Z）是增函數(shù)．

Answer 1

分析 此題為函數(shù)定義方面的創(chuàng)新題，

解答 ①當(dāng) x 取整數(shù)時(shí)，{x}=0 恒成立．當(dāng) x∈（n，n+1）（n∈Z） 時(shí)，{x}不可能取到 1．{x}函數(shù)值域?yàn)閇0，1）．故①不正確．
②當(dāng)取 x=n+$\frac{1}{2}$，且 n 為正整數(shù)時(shí)，{x}=x-[x]=n+$\frac{1}{2}$-n=$\frac{1}{2}$，故這樣的正整數(shù)n有無(wú)數(shù)多個(gè)，所以②正確．
③因?yàn)閧x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，故函數(shù){x}是周期為1的函數(shù)．所以③正確；
④函數(shù)定義域?yàn)镽，取 n 為正整數(shù)．當(dāng) x=n 時(shí)，{x}=n-[n]=0； 當(dāng) x=n+1 時(shí)，{x}=n+1-[n+1]=0； 所以{x}在區(qū)間[n，n+1]（n∈Z）不是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題需對(duì)新函數(shù)定義的充分理解．