Question

設(shè)數(shù)集S={a，b，c，d}滿足下列兩個條件：
（1）?x，y∈S，xy∈S；
（2）?x，y，z∈S或x≠y，則xz≠yz．
現(xiàn)給出如下論斷：
①a，b，c，d中必有一個為0；    
②a、b，c，d中必有一個為1；
③若x∈S且xy=1，則y∈S；   
④存在互不相等的x，y，z∈S，使得x²=y，y²=z．
其中正確論斷的個數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：全稱命題

專題：集合

分析：根據(jù)集合元素滿足的條件，分別進(jìn)行判斷和推理即可得到結(jié)論．

解答：解：由（2）知0不屬于S（①不成立），由（1）可推出對于任意a，b，c，d∈S，abcd∈S，
∴abcd等于a，b，c，d中的某一個，
不妨設(shè)abcd=a，
∵a≠0，∴bcd=1（由（1）知②成立），
∴若③中x=b，則y=cd，
由（1）知cd∈S，即y∈S，
∴x=b時③成立，
同理有x=c時③成立和x=d時③成立，
下面討論x=a時，
∵1∈S，∴若a=1，則y=1∈S，③成立（最后會證到a即abcd不可能等于1），
若a≠1，則b，c，d中的某個等于1，
不妨設(shè)b=1，由bcd=1知cd=1，
由（1）知ac∈S，又∵ac≠a（即c≠1），
ac≠b（即a≠d），
ac≠c（即a≠1），
∴ac=d，
同理有ad=c，
∴ac•ad=d•c，∴a²=1，
∴a=-1，
∴y=-1∈S，∴③成立，
綜上，對于任意x∈S，xy=1，有y∈S成立，
即③成立，
由a≠1即abcd≠1的討論可知
當(dāng)abcd≠1時，S={1，-1，i，-i}，（聯(lián)立cd=1，ac=d，ad=c解出a，c，d）
此時，④成立，
若a=1即abcd=1，
則bcd=1=a，
由1知cd∈S，
若cd=a=1，則b=bcd=a，不可能，
若cd=c，則d=1=a，不可能，
若cd=d，則c=1=a，不可能，
∴cd=b，
∴b²=b•cd=a，
同理有c²=a，d²=a，
∵a的平方根有且只有兩個值，
那么b，c，d中至少有兩個相同，
這與b，c，d同屬于S矛盾，
∴不存在a=1即abcd=1的情況，
∴④成立．
故選：C．

點評：本題主要考查集合元素關(guān)系的判斷，根據(jù)條件分別進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．