Question

1．如圖，圓柱的高為2，底面半徑為3，AE，DF是圓柱的兩條母線，B、C是下底面圓周上的兩點(diǎn)，已知四邊形ABCD是正方形．
（1）求證：BC⊥BE；
（2）求幾何體AEB-DFC的體積；
（3）求平面DFC與平面ABF所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AE⊥底面BEFC，可得AE⊥BC，而AB⊥BC，又AE∩AB=A滿足線面垂直的判定定理所需條件，則BC⊥面ABE，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知BC⊥BE；．
（2）根據(jù)題意可知四邊形EFBC為矩形則BF為圓柱下底面的直徑，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，建立方程，解之即可求出經(jīng)，由此能求出幾何體AEB-DFC的體積．
（3）以F為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面DFC與平面ABF所成的銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）∵AE是圓柱的母線，∴AE⊥底面BEFC，
∵BC?面BEFC，∴AE⊥BC，
∵ABCD是正方形，∴AB⊥BC，
又AE∩AB=A，∴BC⊥面ABE，
又BE?面AB，∴BC⊥BE．
（2）∵四邊形AEFD為矩形，且ABCD是正方，∴EF$\underset{∥}{=}$BC，
∵BC⊥BE，∴四邊形EFBC為矩形，
∴BF為圓柱下底面的直徑，
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，則AD=EF=AB=x，
在直角△AEB中，AE=2，AB=x，且BE²+AE²=AB²，得BE²=x²-4，
在直角△BEF中，BF=6，EF=x，且BE²+EF²=BF²，得BE²=36-x²，
解得x=2$\sqrt{5}$，即正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2$\sqrt{5}$，
∴何體AEB-DFC的體積V=S_△AEB•EF=$\frac{1}{2}×AE×BE×EF$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}×2\sqrt{5}$=8$\sqrt{5}$．
（3）如圖以F為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（2$\sqrt{5}$，0，2），B（2$\sqrt{5}$，4，0），F(xiàn)（0，0，0），C（0，4，0），D（0，0，2），
$\overrightarrow{FA}$=（2$\sqrt{5}$，0，2），$\overrightarrow{FB}$=（2$\sqrt{5}$，4，0），$\overrightarrow{FC}$=（0，4，0），$\overrightarrow{FD}$=（0，0，2），
設(shè)平面ABF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FA}=2\sqrt{5}x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FB}=2\sqrt{5}x+4y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{5}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{5}$，-$\frac{5}{2}$，-5），
設(shè)平面CDF的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設(shè)平面DFC與平面ABF所成的銳二面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{\frac{145}{4}}}$=$\frac{2\sqrt{29}}{29}$．
∴平面DFC與平面ABF所成的銳二面角的余弦值為$\frac{2\sqrt{29}}{29}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線線位置關(guān)系，線面所成角的度量，以及利用空間向量的方法求解立體幾何問題，屬于中檔題，考查空間想象能力，計(jì)算能力．