Question

11．若函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）+f（a-x）=2b（其中a，b不同時(shí)為0），則稱函數(shù)y=f（x）為“準(zhǔn)奇函數(shù)”，稱點(diǎn)（a，b）為函數(shù)f（x）的“中心點(diǎn)”．現(xiàn)有如下命題：
①函數(shù)f（x）=sinx+1是準(zhǔn)奇函數(shù)；
②若準(zhǔn)奇函數(shù)y=f（x）在R上的“中心點(diǎn)”為（a，f（a）），則函數(shù)F（x）=f（x+a）-f（a）為R上的奇函數(shù)；
③已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+6x-2是準(zhǔn)奇函數(shù)，則它的“中心點(diǎn)”為（1，2）；
其中正確的命題是①②③．．（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 在①中，f（0+x）+f（0-x）=2，得a=0，b=1，滿足“準(zhǔn)奇函數(shù)”的定義；在②中，根據(jù)函數(shù)“準(zhǔn)奇函數(shù)”的定義，利用函數(shù)奇偶性的定義即可證明函數(shù)F（x）=f（x+a）-f（a）為R上的奇函數(shù)；在③中，f（1+x）+f（1-x）=（1+x）³-3（1+x）²+6（1+x）-2+（1-x）³-3（1-x）²+6（1-x）-2=4，得點(diǎn)（1，2）為函數(shù)f（x）的“中心點(diǎn)”．

解答 解：在①中，∵函數(shù)f（x）=sinx+1，∴f（0+x）+f（0-x）=2，
∴a=0，b=1，滿足“準(zhǔn)奇函數(shù)”的定義，故①正確；
在②中，若F（x）=f（x+a）-f（a），
則F（-x）+F（x）=f（x+a）-f（a）+f（-x+a）-f（a）=f（a-x）+f（a+x）-2f（a），
∵f（x）在R上的“中心點(diǎn)”為（a，f（a）），
∴f（a-x）+f（a+x）=2f（a），
即F（-x）+F（x）=f（a-x）+f（a+x）-2f（a）=0，
∴F（-x）=-F（x），∴函數(shù)F（x）=f（x+a）-f（a）為R上的奇函數(shù)，∴故②正確．
在③中，函數(shù)f（x）=x³-3x²+6x-2，
∴f（1+x）+f（1-x）=（1+x）³-3（1+x）²+6（1+x）-2+（1-x）³-3（1-x）²+6（1-x）-2=4，
∴點(diǎn)（1，2）為函數(shù)f（x）的“中心點(diǎn)”，故③正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)中心的定義的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量量較大，難度較大．