【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè),不等式對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)當(dāng)時(shí),在定義域單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為,; (2).
【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分為和兩種情形,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)問題等價(jià)于對(duì)任意的,恒有成立,即,根據(jù),分離,從而求出的范圍即可.
(1)函數(shù)定義域?yàn)?/span>,且,
令,得,,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)在定義域單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),由,得;由,得或,
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為,.
綜上所述,
當(dāng)時(shí),在定義域單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為,.
(2)由(1)知當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),,.
問題等價(jià)于:對(duì)任意的,恒有成立,即.
因?yàn)?/span>,則,∴,
設(shè),則當(dāng)時(shí),取得最小值,
所以,實(shí)數(shù)的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,其上焦點(diǎn)到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn).試探究以線段為直徑的圓是否過定點(diǎn)?若過,求出定點(diǎn)坐標(biāo),若不過,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,討論的單調(diào)性;
(2)若在處取得極小值,求實(shí)數(shù)的取值范圍 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在其定義域內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間.
(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù),(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).是否存在實(shí)數(shù)a,使g(x)在[a,-a]上為減函數(shù)?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來,霧霾日趨嚴(yán)重,霧霾的工作、生活受到了嚴(yán)重的影響,如何改善空氣質(zhì)量已成為當(dāng)今的熱點(diǎn)問題,某空氣凈化器制造廠,決定投入生產(chǎn)某型號(hào)的空氣凈化器,根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,每生產(chǎn)該型號(hào)空氣凈化器(百臺(tái)),其總成本為(萬元),其中固定成本為12萬元,并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為10萬元(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本),銷售收入(萬元)滿足,假定該產(chǎn)品銷售平衡(即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉),根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律,請(qǐng)完成下列問題:
(1)求利潤(rùn)函數(shù)的解析式(利潤(rùn)=銷售收入-總成本);
(2)工廠生產(chǎn)多少百臺(tái)產(chǎn)品時(shí),可使利潤(rùn)最多?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有10所學(xué)校,每所都選派若干名男生和若干名女生舉行跳棋比賽,同一學(xué)校的選手不比賽,不同學(xué)校的選手不論男女在兩人之間都要進(jìn)行一場(chǎng)比賽. 在兩個(gè)男生或兩個(gè)女生之間的比賽總局?jǐn)?shù)與男生和女生之間的比賽總局?jǐn)?shù)與男生和女生之間的比賽總局?jǐn)?shù)至多相差1,而男生的總?cè)藬?shù)和女生的總?cè)藬?shù)也至多相差1. 求證:至少有7所學(xué)校選派的男生和女生人數(shù)相同.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)對(duì)設(shè)備進(jìn)行升級(jí)改造,現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本,檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,若該項(xiàng)指標(biāo)值落在[20,40)內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品,否則為不合格品,圖1是設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖,表1是設(shè)備改造后的頻數(shù)分布表.
表1,設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表:
質(zhì)量指標(biāo)值 | ||||||
頻數(shù) | 2 | 18 | 48 | 14 | 16 | 2 |
(1)請(qǐng)估計(jì)該企業(yè)在設(shè)備改造前的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均數(shù);
(2)企業(yè)將不合格品全部銷毀后,并對(duì)合格品進(jìn)行等級(jí)細(xì)分,質(zhì)量指標(biāo)值落在[25,30)內(nèi)的定為一等品,每件售價(jià)240元,質(zhì)量指標(biāo)值落在[20,25)或[30,35)內(nèi)的定為二等品,每件售價(jià)180元,其它的合格品定為三等品,每件售價(jià)120元.根據(jù)表1的數(shù)據(jù),用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級(jí)產(chǎn)品的概率,現(xiàn)有一名顧客隨機(jī)購(gòu)買兩件產(chǎn)品,設(shè)其支付的費(fèi)用為X(單位:元),求X得分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)恰好圍成一個(gè)面積為的等邊三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為、,右焦點(diǎn)為,是橢圓上異于,的動(dòng)點(diǎn),直線與橢圓在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),試判斷以為直徑的圓與直線的位置關(guān)系,并加以證明.
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