Question

9．已知直線l₁∥l₂，A是l₁，l₂之間的一定點(diǎn)，并且A點(diǎn)到l₁，l₂的距離分別為1，2，B是直線l₂上一動(dòng)點(diǎn)，作AC⊥AB且使AC與直線l₁交于點(diǎn)C，則△ABC的面積最小值為（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．直線AB的斜率存在，設(shè)方程為：y=kx，k≠0，直線AC的方程為：y=-$\frac{1}{k}$x，
可得△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$|AB|•|AC|，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．
直線AB的斜率存在，設(shè)方程為：y=kx，k≠0．
則直線AC的方程為：y=-$\frac{1}{k}$x，
∴B（2，2k），C$（-1，\frac{1}{k}）$．
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$|AB|•|AC|=$\frac{1}{2}\sqrt{4+4{k}^{2}}$×$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$=$\sqrt{2+{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}}$≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)取等號(hào)．
∴△ABC的面積最小值為2．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．