Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是邊長為4的正方形，AB⊥平面AA₁C₁C，AB=3．
（Ⅰ）求直線A C₁與直線A₁B夾角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,異面直線及其所成的角

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）由線面垂直的性質(zhì)和判定，即可得到AA₁⊥平面ABC，AB⊥AC，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AB，AA₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出A₁（0，0，4），B（0，3，0），C₁（4，0，4），則

AC1

=（4，0，4），

A1B

=（0，3，-4），再由向量的夾角公式即可得到所求值；
（II）通過（Ⅰ）建立的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出所求的兩個平面的法向量，運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，再利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角．

解答： 解：（I）∵AA₁C₁C是正方形，∴AA₁⊥AC
又∵AB⊥平面AA₁C₁C，AB⊥AC，AB⊥AA₁，
∴AA₁⊥平面ABC，由AC=4，AB=3，得BC=5，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AB，AA₁所在直線為x，y，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A₁（0，0，4），B（0，3，0），
C₁（4，0，4），則

AC1

=（4，0，4），

A1B

=（0，3，-4），
cos＜

AC1

，

A1B

＞=

AC1 • A1B

| AC1 |•| A1B |

=

-16

4 2 •5

=-

2 2

5

．
故直線A C₁與直線A₁B夾角的余弦值為

2 2

5

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A₁（0，0，4），B（0，3，0），B₁（0，3，4），
C₁（4，0，4），∴

BA1

=（0，-3，4），

BC1

=（4，-3，4），

BB1

=（0，0，4），
設(shè)平面A₁BC₁的法向量為

n1

=（x₁，y₁，z₁），
平面B₁BC₁的法向量為

n2

=（x₂，y₂，z₂）．
則

n1 • BC1 =4x1-3y1+4z1=0 n1 • BA1 =-3y1+4z1=0

，
令y₁=4，解得x₁=0，z₁=3，∴

n1

=（0，4，3），

n2 • BC1 =4x2-3y2+4z2=0 n2 • BB1 =4z2=0

，
令x₂=3，解得y₂=4，z₂=0，∴

n2

=（3，4，0）．
cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

16

25 • 25

=

16

25

．
∴二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值為

16

25

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、面面垂直的性質(zhì)定理、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用法向量求二面角的方法、向量垂直與數(shù)量積得關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本方法，考查了空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力．