Question

當不等式組

x≥0 y≥0 kx-y+2-k≥0(k＜0)

所表示的平面區(qū)域的面積最小時，實數k的值為（　　）

• A、-

  1

  3

• B、-

  1

  2

• C、-1
• D、-2

Answer 1

分析：由于不等式組所表示的平面區(qū)域由三條直線圍成，其中直線kx-y+2-k=0（k＜0）即y-2=k（x-1）（k＜0）經過定點（1，2），
因此問題轉化為求經過定點（1，2）的直線與兩坐標軸在第一象限內所圍成的三角形的面積的最小值．

解答：解：由于不等式組所表示的平面區(qū)域由三條直線圍成，其中直線kx-y+2-k=0（k＜0）即y-2=k（x-1）（k＜0）經過定點（1，2），
因此問題轉化為求經過定點（1，2）的直線與兩坐標軸在第一象限內所圍成的三角形的面積的最小值．
如圖所示，設所圍成的區(qū)域的面積為S，則S=

1

2

•|OA|•|OB|=

1

2

•|2-k|•|1-

2

k

|．
因為k＜0，
所以-k＞0，
所以S=

1

2

（4-k-

4

k

）=

1

2

[4+（-k）+（-

4

k

）]≥

1

2

[4+2

(-4)(- 4 k )

]=4，
當S取得最小值4時，-k=-

4

k

，解得k=-2．

故選D

點評：此題考查了不等式組表示平面區(qū)域，還考查了直線的方程及三角形的面積公式和均值不等式求函數的最值．