Question

9．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1，則AD與平面AA₁C₁C所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

Answer 1

分析 利用題目的空間直角坐標(biāo)系，求出平面AA₁C₁C的法向量，向量AD，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．

解答 解：取AC的中點(diǎn)E，BE為x軸，BE的垂線為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1，
則E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0），A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），D（0，0，1），
平面AA₁C₁C的法向量可以為：$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0），$\overrightarrow{AD}$=（$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$-\frac{1}{2}$，1），
則AD與平面AA₁C₁C所成的角的正弦值為：$|\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AD}|}|$=$|\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+1}}|$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．