Question

16．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的各個頂點都在球O的球面上，若球O的表面積為16π，過點A，B，C，D作球O的截面，則該截面的面積為$\frac{8π}{3}$．

Answer 1

分析 求出球O的半徑，正方體的棱長，可得截面的半徑，即可求出截面的面積．

解答 解：由S=4πR²=16π，得R=2，即2R=4，
正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體對角線等于其外接球O的直徑，故正方體的棱長為$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
設截面的半徑為r，則r=$\sqrt{4-（\frac{2}{\sqrt{3}}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{8}{3}}$，
∴截面的面積為$π•\frac{8}{3}$=$\frac{8π}{3}$．
故答案為：$\frac{8π}{3}$．

點評 本題為正方體與外接球的問題，正方體的體對角線等于其外接球O的直徑是解決問題的關鍵，屬基礎題．