Question

已知函數(shù)f（x）=2^x+a•2^-x（a∈R）．
（1）討論該函數(shù)的奇偶性；
（2）當f（x）為偶函數(shù)時，求證f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，建立方程關系即可得到該函數(shù)的奇偶性；
（2）當f（x）為偶函數(shù)時，求出a=1，然后根據(jù)函數(shù)單調性的定義即可證明f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

解答： 解：（1）∵f（x）=2^x+a•2^-x（a∈R）．
∴f（-x）=2^-x+a•2^x（a∈R）．
若函數(shù)為偶函數(shù)，則f（-x）=2^-x+a•2^x=2^x+a•2^-x，此時a=1，
若函數(shù)為奇函數(shù)，則f（-x）=2^-x+a•2^x=-f（x）=-2^x-a•2^-x，此時a=-1，
當a≠1且a≠-1時，函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（2）由（1）知，若f（x）為偶函數(shù)，則a=1，
此時f（x）=2^x+2^-x，
當x＞0時，設0＜x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=2x1+2-x1-2x2-2-x2=(2x1-2x2)?

2x1?2x2-1

2x1?2x2

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴2x1-2x20，
∴f(x1)-f(x2)=(2x1-2x2)?

2x1?2x2-1

2x1?2x2

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，以及利用函數(shù)的單調性的定義，判斷函數(shù)的單調性，考查定義的應用．