Question

是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)y=sin2x+mcos（x+

π

4

）的最大值為7？若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：令 t=cos（x+

π

4

）=

2

2

cosx-

2

2

sinx∈[-1，1]，平方求得sin2x的解析式，則函數(shù)y=-2(t-

m

4

)2+

m2

8

+1．再分當(dāng)-1≤

m

4

≤1時、當(dāng)

m

4

＞1時、當(dāng)

m

4

＜-1時三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)，依據(jù)函數(shù)的最大值為7，求得m的值，從而得出結(jié)論．

解答： 解：令 t=cos（x+

π

4

）=

2

2

cosx-

2

2

sinx∈[-1，1]，平方可得 t²=

1

2

-

1

2

sin2x，
故 函數(shù)y=sin2x+mcos（x+

π

4

）=1-2t² +mt=-2(t-

m

4

)2+

m2

8

+1，
∴當(dāng)-1≤

m

4

≤1時，t=-

m

4

時，函數(shù)y取得最大值為1+

m2

8

=7，解得m=±4

3

（舍去）．
當(dāng)

m

4

＞1時，函數(shù)y在-2(t-

m

4

)2+

m2

8

+1在[-1，1]上是增函數(shù)，
則當(dāng)t=1時，函數(shù)取得最大值為 1-2+m=7，解得m=8．
當(dāng)

m

4

＜-1時，函數(shù)y在-2(t-

m

4

)2+

m2

8

+1在[-1，1]上是減函數(shù)，
則當(dāng)t=-1時，函數(shù)取得最大值為 1-2-m=7，解得m=-8．
綜上，存在m=±8，滿足條件．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．