Question

設三角形ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=4，c=

13

，sinA=4sinB
（1）求b邊的長；
（2）求角C的大小．
（3）如果cos(x+C)=

4

5

(-

π

2

＜x＜0)，求sinx．

Answer 1

分析：（1）由a，sinA=4sinB，利用正弦定理求出b的值即可；
（2）利用余弦定理表示出cosC，將三邊長代入求出cosC的值，由C為三角形的內角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（3）將C度數(shù)代入已知等式，由x的范圍求出x+C的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sin（x+C）的值，所求式子sinx變形為sin[（x+

π

3

）-

π

3

]，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后，將各種的值代入計算即可求出值．

解答：解：（1）∵a=4，sinA=4sinB，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：b=

asinB

sinA

=1；
（2）∵a=4，b=1，c=

13

，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∵C為三角形的內角，
∴C=

π

3

；
（3）將C=

π

3

代入得：cos（x+

π

3

）=

4

5

，
∵-

π

2

＜x＜0，
∴-

π

6

＜x+

π

3

＜

π

3

，
∴sin（x+

π

3

）=

3

5

或-

3

5

，
則當sin（x+

π

3

）=

3

5

時，sinx=sin[（x+

π

3

）-

π

3

]=

3

5

×

1

2

-

4

5

×

3

2

=

3-4 3

10

；
當sin（x+

π

3

）=-

3

5

時，sinx=sin[（x+

π

3

）-

π

3

]=-

3

5

×

1

2

-

4

5

×

3

2

=

-3-4 3

10

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關系，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．