【題目】已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點(diǎn).
(1)若F在線段AB上,R是PQ的中點(diǎn),證明:AR∥FQ;
(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點(diǎn)的軌跡方程.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】試題分析:(Ⅰ)由題意可知 ,設(shè) 且 ,求出點(diǎn) 的坐標(biāo),求出方程,得到 ,進(jìn)而寫出直線的斜率為 ,直線的斜率為 利用 ,即可證明;
(Ⅱ)設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為,利用 的面積是的面積的兩倍,求出的坐標(biāo),由kAB=kDE可得= (x≠1).討論即可得到 中點(diǎn)的軌跡方程.
試題解析:
(1)證明 由題意可知F,
設(shè)l1:y=a,l2:y=b,且ab≠0,A,B,P,Q,
R.記過A,B兩點(diǎn)的直線為l,
則l的方程為2x-(a+b)y+ab=0.
因?yàn)辄c(diǎn)F在線段AB上,所以ab+1=0,
記直線AR的斜率為k1,直線FQ的斜率為k2,
所以k1=,k2==-b,
又因?yàn)閍b+1=0,
所以k1=====-b,
所以k1=k2,即AR∥FQ.
(2)解 設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0),
所以S△ABF=|a-b|FD=|a-b|,
又S△PQF=,所以由題意可得S△PQF=2S△ABF
即:=2××|a-b|·,
解得x1=0(舍)或x1=1.
設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x,y).
當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),
由kAB=kDE可得= (x≠1).
又=,所以y2=x-1(x≠1).
當(dāng)AB與x軸垂直時(shí),E與D重合,
所以,所求軌跡方程為y2=x-1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為,有一質(zhì)點(diǎn)A從處以速度v開始沿直線運(yùn)動(dòng),經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射無論經(jīng)過幾次反射速率始終保持不變,若質(zhì)點(diǎn)第一次回到時(shí),它所用的最長時(shí)間是最短時(shí)間的7倍,則橢圓的離心率e為
A. B. C. D.
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【題目】某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖,則下列結(jié)論正確的是( )
注:90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之間出生,80前指1979年及以前出生.
A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中從事技術(shù)和運(yùn)營崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的三成以上
B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%
C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營崗位的人數(shù)90后比80前多
D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖為函數(shù)()圖象的一部分.
(1)求函數(shù)的解析式,并寫出的振幅、周期、初相.
(2)求使得的x的集合.
(3)兩數(shù)的圖象可由兩數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】狄利克雷是德國著名數(shù)學(xué)家,函數(shù),被稱為狄利克雷函數(shù),下面給出關(guān)于狄利克雷函數(shù)的五個(gè)結(jié)論:
①若是無理數(shù),則;
②函數(shù)的值域是;
③函數(shù)是偶函數(shù);
④若且為有理數(shù),則對(duì)任意的恒成立;
⑤存在不同的三個(gè)點(diǎn),使得為等邊三角形.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是___________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)滿足,且的最小值是.
(1)求的解析式;
(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)函數(shù),對(duì)任意都有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,,數(shù)列滿足,,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)若,數(shù)列的前項(xiàng)和為,對(duì)任意的,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知等差數(shù)列的公差不為零,且,、、成等比數(shù)列,數(shù)列滿足
(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;
(2)求證:.
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【題目】定義在上的函數(shù),如果存在函數(shù)(為常數(shù)),使得對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立,則稱為函數(shù)的一個(gè)承托函數(shù).給出如下命題:
① 函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)承托函數(shù);
② 函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)承托函數(shù);
③ 若函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)承托函數(shù),則的取值范圍是;
④ 值域是的函數(shù)不存在承托函數(shù)。 其中,所有正確命題的序號(hào)是__.
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