Question

11．如圖，已知四棱錐P-ABCD是邊長為1的正方形，PB=PD=$\sqrt{5}$，PC=2，E是側棱PC上的動點．
（Ⅰ）求證：不論點E在何位置，都有BD⊥AE；
（Ⅱ）若PA∥平面BDE，求直線AE與平面BDE所成角的正弦值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角D-AE-B的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）以點C為原點，CD，CB，CP，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則A（1，1，0），B（0，1，0），D（1，0，0），P90，0，2，設E（0，0，a），由$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AE}=0$知DB⊥AE．
（Ⅱ）求出設平面DBE的法向量，設直線AE與平面BDE所成角的為θ，sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{{n}_{1}}$＞|=$\frac{1}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{1}{3}$．即可．
（Ⅲ）求出平面ADE和平面ABE的法向量，利用向量夾角公式求解．

解答 解：（Ⅰ）∵在△PBC中，PB=$\sqrt{5}$，PC=2，BC=1，
∴PC²+BC²=PB²．∴PC⊥BC．
同理PC⊥DC．∴PC⊥面ABCD．
如圖以點C為原點，CD，CB，CP，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則A（1，1，0），B（0，1，0），D（1，0，0），P90，0，2）∴$\overrightarrow{BD}=（1，-1，0）$．
設E（0，0，a），則$\overrightarrow{AE}=（-1，-1，a）$，
∵$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AE}=0$，∴DB⊥AE．
（Ⅱ）$\overrightarrow{BD}=（1，-1，0）$，$\overrightarrow{BE}=（0，-1，a），\overrightarrow{PA}=（1，1，-2）$．
設平面DBE的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BD}={x}_{1}-{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BE}=-{y}_{1}+a{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{{n}_{1}}=（1，1，\frac{1}{a}）$．
∵PA∥面BDE，∴$PA⊥\overrightarrow{{n}_{1}}$，即$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{{n}_{1}}=2-\frac{2}{a}=0$，解得a=1．
∴$\overrightarrow{{n}_{1}}=（1，1，1），\overrightarrow{AE}=（-1，-1，1）$，
設直線AE與平面BDE所成角的為θ
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{{n}_{1}}$＞|=$\frac{1}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{1}{3}$．
直線AE與平面BDE所成角的正弦值為$\frac{1}{3}$．．
（Ⅲ）$\overrightarrow{DA}=（0，1，0），\overrightarrow{DE}=（-1，0，1）$，$\overrightarrow{BA}=（1，0，0）$，$\overrightarrow{BE}=（0，-1，1）$．
設平面ADE和平面ABE的法向量分別為$\overrightarrow{{n}_{2}}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}），\overrightarrow{{n}_{3}}=（{x}_{3}，{y}_{3}，{z}_{3}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{DA}={y}_{2}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{DE}=-{x}_{2}+{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{{n}_{2}}=（1，0，1）$，
同理可得$\overrightarrow{{n}_{3}}=（0，1，1）$．
設二面角D-AE-B的大小為β，|cosβ|=$\frac{1}{2}$，
由圖可知β為鈍角，二面角D-AE-B的大小為$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查了線線垂直的判定，向量法求解空間角，屬于中檔題．