Question

【題目】

已知函數(shù).

（1）討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個零點；

（2）設(shè)x0是f(x)的一個零點，證明曲線y=ln x 在點A(x0，ln x0)處的切線也是曲線的切線.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)，證明見解析；

（2）證明見解析.

【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）先求出曲線在處的切線，然后求出當曲線切線的斜率與斜率相等時，證明曲線切線在縱軸上的截距與在縱軸的截距相等即可.

（1）函數(shù)的定義域為，

，因為函數(shù)的定義域為，所以，因此函數(shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)；

當，時，，而，顯然當，函數(shù)有零點，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當時，函數(shù)有唯一的零點；

當時，，

因為，所以函數(shù)在必有一零點，而函數(shù)在上是單調(diào)遞增，故當時，函數(shù)有唯一的零點

綜上所述，函數(shù)的定義域內(nèi)有2個零點；

（2）因為是的一個零點，所以

，所以曲線在處的切線的斜率，故曲線在處的切線的方程為：而，所以的方程為，它在縱軸的截距為.

設(shè)曲線的切點為，過切點為切線，，所以在處的切線的斜率為，因此切線的方程為，

當切線的斜率等于直線的斜率時，即，

切線在縱軸的截距為，而，所以，直線的斜率相等，在縱軸上的截距也相等，因此直線重合，故曲線在處的切線也是曲線的切線.