【題目】如圖,△ABC的外接圓⊙O的半徑為5,CE垂直于⊙O所在的平面,BD∥CE,CE4,BC6,且BD1,.

1)求證:平面AEC⊥平面BCED;

2)試問線段DE上是否存在點(diǎn)M,使得直線AM與平面ACE所成角的正弦值為?若存在,確定點(diǎn)M的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】1)答案詳見解析;(2)存在,且

【解析】

試題(1)要證明面面垂直,只需證明一個(gè)平面另一個(gè)平面的一條垂線,本題在中,求得,從而得⊙O的直徑,故,從而可證明,進(jìn)而證明平面AEC⊥平面BCED;(2)以方向?yàn)?/span>軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn),利用表示向量的坐標(biāo),利用列方程求的值,從而確定點(diǎn)的位置.

試題解析:(1)證明:平面

,又因?yàn)?/span>.

AD,AB10=直徑長,(3分)

∴AC⊥BC.又因?yàn)?/span>EC⊥平面ABC,所以EC⊥BC.

∵AC∩ECC∴BC⊥平面ACE,又BC平面BCED

平面AEC⊥平面BCED.6分)

2)法一:存在,如圖,以C為原點(diǎn),直線CAx軸,直線CBy軸,直線CEz軸建立空間直角坐標(biāo)系,則有點(diǎn)的坐標(biāo),A80,0),B0,60),D0,61),E0,0,4).

=(-86,1),=(0,-63),

設(shè)λλ0,-63)=(0,-,),0<λ<1

=(-8, 61

由(1)易得平面ACE的法向量為=(0,6,0),

設(shè)直線AM與平面ACE所成角為θ,

sin θ,解得λ.10分)

所以存在點(diǎn)M,且時(shí),直線AM與平面ACE所成角的正弦值為. (12分)

法二:(幾何法)

如圖,作MN⊥CECEN,連接AN,則MN⊥平面AEC,故直線AM與平面ACE所成的角為∠MAN,且MN⊥AN,NC⊥AC.

設(shè)MN2x,由直線AM與平面ACE所成角的正弦值為,得AMx,所以ANx.

另一方面,作DK∥MN∥BC,得ENxNC4x

AC8,故Rt△ANC中,由AN2AC2NC2

17x264+(4x2,∴x2,∴MN4,EM2

所以存在點(diǎn),且時(shí),直線與平面所成角的正弦值為. 12分)

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