Question

4．過⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的兩條割線PAB，PMN，其中PMN過圓心O，過P作再作⊙O的切線PT，切點(diǎn)為T．已知PM=MO=ON=1．
（Ⅰ）求切線PT的長；
（Ⅱ）求$\frac{AM•BM}{AN•BN}$時(shí)值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用切割線定理求切線PT的長；
（Ⅱ）證明△PAN∽△PBM，△PAM∽△PBN，即可求$\frac{AM•BM}{AN•BN}$時(shí)值．

解答 解：（Ⅰ）∵PM=MO=ON=1，
∴PT²=PM•PN=3，
∴PT=$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）∵∠ABM=∠ANM，∠BPM=∠NPA，
∴△PAN∽△PBM，
∴$\frac{BM}{AN}=\frac{PB}{PN}$①，
∵∠PAM=∠PNB，∠PMA=∠PBN，
∴△PAM∽△PBN，
∴$\frac{AM}{BN}$=$\frac{PA}{PN}$②
由①②，可知$\frac{AM•BM}{AN•BN}$=$\frac{PA•BP}{P{N}^{2}}$=$\frac{PM•PN}{P{N}^{2}}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切割線定理，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．