Question

9．如圖1，AB為圓O的直徑，D為圓周上異于A，B的點(diǎn)，PB垂直于圓O所在的平面，BE⊥PA，BF⊥PD，垂足分別為E，F(xiàn)．已知AB=BP=2，直線PD與平面ABD所成角的正切值為$\sqrt{2}$．
（I）求證：BF⊥平面PAD；
（II）求三棱錐E-ABD的體積；
（III）在圖2中，作出平面BEF與平面ABD的交線，并求平面BEF與平面ABD所成銳二面角的大�。�

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AD⊥BD，PB⊥AD，從而AD⊥平面PBD，進(jìn)而AD⊥BF，由此能證明BF⊥平面PAD．
（2）由PB⊥平面ABD，得∠PDB是直線PD與平面ABD所成的角，由PB⊥平面ABD，求出三棱錐E-ABD的高，由此能求出三棱錐E-ABD的體積．
（3）連接EF并延長交AD的延長線于點(diǎn)G，連接BG，則BG為平面BEF與ABD的交線，推導(dǎo)出∠ABE是平面BEF與平面ABD所成銳二面角的平面角，由此能求出平面BEF與平面ABD所成銳二面角的大�。�

解答 證明：（1）∵AB為圓O的直徑，D為圓周上一點(diǎn)．∴AD⊥BD，（1分）
∵PB⊥平面ABD，∴PB⊥AD，（2分）
又∵BD∩PB=B，∴AD⊥平面PBD，（3分）
∵BF?平面PBD，∴AD⊥BF，
又∵BF⊥PD，AD∩PD=D，∴BF⊥平面PAD．（4分）
解：（2）∵PB⊥平面ABD，∴∠PDB是直線PD與平面ABD所成的角．
∴$tan∠PDB=\sqrt{2}$，（5分）
在Rt△PBD中，$DB=\sqrt{2}$，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=2，$BD=\sqrt{2}$，
∴$AD=\sqrt{2}$，∴${S_{△ADB}}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$（6分）
∵AB=BP=2，BE⊥PA，∴E是PA的中點(diǎn)．
∵PB⊥平面ABD，∴三棱錐E-ABD的高$h=\frac{1}{2}PB=1$，
∴${V_{E-ABD}}=\frac{1}{3}{S_{△ABD}}h=\frac{1}{3}×1×1=\frac{1}{3}$（8分）
（3）連接EF并延長交AD的延長線于點(diǎn)G，連接BG，
則BG為平面BEF與ABD的交線．（9分）
在Rt△PBD中，$BD=\sqrt{2}，PB=2，BF=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，DF=\frac{{\sqrt{6}}}{3}，PF=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$
在Rt△PBA中，AB=BP=2，BE⊥PA
∴$BE=\sqrt{2}，PE=\sqrt{2}$
∵BF⊥面PAD．∴BF⊥EF
在△EFB中，$EF=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．∴EF⊥PE．
又∵PD⊥AD∴FD⊥DG
∴Rt△PEF≌Rt△GDF，∴$DG=PE=AD=BD=\sqrt{2}$（10分）
又∵BD⊥AD，∴$∠ABG=\frac{π}{2}$，
又∵PB⊥面ABD
∴BG⊥PB
∴BG⊥面PAB
∴BG⊥BE
∴∠ABE是平面BEF與平面ABD所成銳二面角的平面角 （11分）
即$∠ABE=\frac{π}{4}$．（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查二面角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．