Question

8．如圖，在△OAB中，$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$，AD與BC交于點M，設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{OM}$；
（2）在線段AC上取一點E，在線段BD上取一點F，使EF過M點，設(shè)$\overrightarrow{OE}$=p$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OF}$=q$\overrightarrow{OB}$，求證：$\frac{1}{7p}$+$\frac{3}{7q}$=1．

Answer 1

分析 （1）設(shè)設(shè)$\overrightarrow{OM}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$，根據(jù)三點共線原理和平面向量的基本定理，列方程求出x，y即可得出答案；
（2）由$\overrightarrow{OE}$=p$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OF}$=q$\overrightarrow{OB}$可得：$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{p}$$\overrightarrow{OE}$，$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{q}$$\overrightarrow{OF}$，結(jié)合（1）中$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{7}$$\overrightarrow$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)$\overrightarrow{OM}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$，
由$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OA}$得：$\overrightarrow{OM}$=4x$\overrightarrow{OC}$+y$\overrightarrow$，
∵C，M，B三點共線，
∴4x+y=1，
由$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$，得：$\overrightarrow{OM}$=x$\overrightarrow{a}$+2y$\overrightarrow{OD}$，
∵A，M，D三點共線，
∴x+2y=1，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{7}\\ y=\frac{3}{7}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{7}$$\overrightarrow$．
證明（2）∵$\overrightarrow{OE}$=p$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OF}$=q$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{p}$$\overrightarrow{OE}$，$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{q}$$\overrightarrow{OF}$，
∴$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{7}$$\frac{1}{p}$$\overrightarrow{OE}$+$\frac{3}{7}$$\frac{1}{q}$$\overrightarrow{OF}$．
∵E，M，F(xiàn)三點共線，
∴$\frac{1}{7p}$+$\frac{3}{7q}$=1．

點評 本題考查了平面向量的基本道理，向量共線定理，屬于中檔題．