Question

設f（x）=（

x

+

3

x

）ⁿ（n∈N₊）展開式各項的系數和為P，二項式系數之和為S，P+S=72．
（1）求n的值；
（2）求展開式中的常數項；
（3）記g（x）=（2x³-1）f（x），求g（x）展開式中含x 

3

2

的項的系數．

Answer 1

考點：二項式定理

專題：二項式定理

分析：（1）令x=1，可得f（x）=（

x

+

3

x

）ⁿ（n∈N₊）展開式各項的系數和的值，
（2）由P+S=72求得2ⁿ=8，可得n=3．在f（x）=（

x

+

3

x

）ⁿ（n∈N₊）展開式的通項公式中，令x的冪指數等于零，求得k的值，可得展開式的常數項的值．
（3）根據g（x）=（2x³-1）[x

3

2

+9+27x-

3

2

+27x^-3]，求得g（x）的展開式中含x 

3

2

的項的系數．

解答： 解：（1）令x=1，可得f（x）=（

x

+

3

x

）ⁿ（n∈N₊）展開式各項的系數和為P=4ⁿ，
（2）由于二項式系數之和為S=2ⁿ，故由P+S=72可得4ⁿ+2ⁿ=72，求得2ⁿ=8，或2ⁿ=-9（舍去），∴n=3．
故f（x）=（

x

+

3

x

）ⁿ（n∈N₊）展開式的通項公式為T_r+1=

C

r 3

•3^r•x

3-3k

2

，
令

3-3k

2

=0，求得k=1，故展開式的常數項為

C

r 3

•3^r=9．
（3）g（x）=（2x³-1）f（x）=（2x³-1）[x

3

2

+9+27x-

3

2

+27x^-3]，
故g（x）的展開式中含x 

3

2

的項的系數為 2×27-1=53．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數的性質，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于基礎題．