Question

如圖，P是拋物線C：y=

1

2

x²上一點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q．
（Ⅰ）若直線l與過(guò)點(diǎn)P的切線垂直，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線l不過(guò)原點(diǎn)且與x軸交于點(diǎn)S，與y軸交于點(diǎn)T，試求

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M（x₀，y₀），欲求點(diǎn)M的軌跡方程，即尋找其坐標(biāo)的關(guān)系，可通過(guò)另外兩點(diǎn)P，Q與中點(diǎn)M的關(guān)系結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解，
（2）欲

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

的取值范圍，可轉(zhuǎn)化為將其表示成某變量的表達(dá)式，然后再求此表達(dá)式的最值問(wèn)題，另外，為了化簡(jiǎn)比例式，一般將線段投影到坐標(biāo)軸上的線段解決．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₀，y₀），依題意x₁≠0，y₁＞0，y₂＞0．
由y=

1

2

x²，①
得y'=x．
∴過(guò)點(diǎn)P的切線的斜率k=x₁，
∴直線l的斜率k_l=-

1

k

=-

1

x1

，
∴直線l的方程為y-

1

2

x₁²=-

1

x1

（x-x₁），②
聯(lián)立①②消去y，得x²+

2

x1

x-x₁²-2=0．
∵M(jìn)是PQ的中點(diǎn)
∴x₀=

x1+x2

2

=-

1

x1

，y₀=

1

2

x₁²-

1

x1

（x₀-x₁）
消去x₁，得y₀=x₀²+

1

2  x 2 0

+1（x₀≠0），
∴PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x²+

1

2 x 2 0

+1（x≠0）．

（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+b，依題意k≠0，b≠0，則T（0，b）．
分別過(guò)P、Q作PP'⊥x軸，QQ'⊥y軸，垂足分別為P'、Q'，則

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=

|OT|

|P′P|

+

|OT|

|Q′Q|

=

|b|

|y1|

+

|b|

|y2|

．
由y=

1

2

x²，y=kx+b消去x，得y²-2（k²+b）y+b²=0．③
則y₁+y₂=2（k²+b），y₁y₂=b²．
∴

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=|b|（

1

y1

+

1

y2

）≥2|b|

1 y1y2

=2|b|

1 b2

=2．
∵y₁、y₂可取一切不相等的正數(shù)，
∴

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

的取值范圍是（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力．