Question

14．設函數f（x）、g（x）的定義域分別為A，B，且A⊆B，若對于任意x∈A，都有g（x）=f（x），則稱g（x）函數為f（x）在B上的一個延拓函數．設f（x）=e^-x（x-1）（x＞0），g（x）為f（x）在R上的一個延拓函數，且g（x）是奇函數．給出以下命題：
①當x＜0時，g（x）=e^-x（1-x）；          
②函數g（x）有3個零點；
③g（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）；     
 ④?x₁，x₂∈R，都有$|g（{x_1}）-g（{x_2}）|≤\frac{2}{e^2}$．
其中正確命題的個數是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 設x＜0，則-x＞0，由函數得性質可得解析式，可判①的真假，再由性質作出圖象可對其他命題作出判斷．

解答 解：由題意得，x＞0時，g（x）=f（x）=e^-x（x-1），
當x＜0時，則-x＞0，g（-x）=f（-x）=e^x（-x-1）=-g（x），所以g（x）=e^x（x+1），故①不正確；
對x＜0時的解析式求導數可得，g′（x）=e^x（x+2），令其等于0，解得x=-2，
且當x∈（-∞，-2）上導數小于0，函數單調遞減；當x∈（-2，+∞）上導數大于0，函數單調遞增，
x=-2處為極小值點，且g（-2）＞-1，且在x=1處函數值為0，且當x＜-1是函數值為負．
又因為奇函數的圖象關于原點中心對稱，故函數f（x）的圖象應如圖所示：
由圖象可知：函數f（x）有3個零點，故②③正確；
由于函數-1＜g（x）＜1，故有對?x₁，x₂∈R，|g（x₂）-g（x₁）|＜2恒成立，即④不正確．
故選：B．

點評 本題是個新定義題，主要考查利用函數奇偶性求函數解析式的方法，在解題時注意對于新定義的理解．作出函數的圖象是解決問題的關鍵，屬于中檔題．