Question

12．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，右焦點到直線x=$\frac{a^2}{c}$的距離為1．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若P為橢圓上的一點（點P不在y軸上），過點O作OP的垂線交直線y=$\sqrt{2}$于點Q，求$\frac{1}{{|OP{|^2}}}+\frac{1}{{|OQ{|^2}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，右焦點到直線x=$\frac{a^2}{c}$的距離為1，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓的標準方程．
（2）當OP的斜率為0時，|OP|=$\sqrt{2}$，|OQ|=$\sqrt{2}$，$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=1；當OP的斜率不為0時，設(shè)直線OP的方程為y=kx，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²=2，由此利用直線與直線垂直、韋達定理，結(jié)合已知條件，求出$\frac{1}{{|OP{|^2}}}+\frac{1}{{|OQ{|^2}}}$=1．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，右焦點到直線x=$\frac{a^2}{c}$的距離為1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}-c=1}\end{array}\right.$，且a²=b²+c²，
解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1．
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（${x}_{2}，\sqrt{2}$），
由題意知OP的斜率存在，
當OP的斜率為0時，|OP|=$\sqrt{2}$，|OQ|=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=1，
當OP的斜率不為0時，設(shè)直線OP的方程為y=kx，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²=2，
解得${{x}_{1}}^{2}=\frac{2}{2{k}^{2}+1}$，∴${{y}_{1}}^{2}=\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，
∴|OP|²=${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}$=$\frac{2{k}^{2}+2}{2{k}^{2}+1}$，
∵OP⊥OQ，∴直線OQ的方程為y=-$\frac{1}{k}x$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}}\\{y=-\frac{1}{k}x}\end{array}\right.$，得${x}_{2}=-\sqrt{2}k$，
∴|OQ|²=${{x}_{2}}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}=2{k}^{2}+2$，
∴$\frac{1}{{|OP{|^2}}}+\frac{1}{{|OQ{|^2}}}$=$\frac{2{k}^{2}+1}{2{k}^{2}+2}+\frac{1}{2{k}^{2}+2}$=1．
綜上，$\frac{1}{{|OP{|^2}}}+\frac{1}{{|OQ{|^2}}}$=1．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查線段平方的倒數(shù)和的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查等價轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．