Question

若函數(shù)f（x）的定義域和值域均為區(qū)間G，則稱區(qū)間G為函數(shù)f（x）的“管控區(qū)間”．
（1）求函數(shù)f（x）=x²-2x形如[a，+∞）（a∈R）的“管控區(qū)間”；
（2）函數(shù)g（x）=|1-

1

x

|（x＞0）是否存在形如[a，b]的“管控區(qū)間”，若存在，求出實(shí)數(shù)a、b的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)“管控區(qū)間的概念求解即可；
（2）分類討論函數(shù)的單調(diào)性，使其滿足函數(shù)有”管控區(qū)間，列方程解方程即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²─2x=（x─1）²─1，∴f（x）的值域?yàn)閇─1，+∞）．
故[─1，+∞）是函數(shù)f （x）的一個(gè)“管控區(qū)間”．
又函數(shù)f（x）的圖象與y=x有一個(gè)交點(diǎn)（3，3），∴[3，+∞）也是函數(shù)f（x）的一個(gè)“管控區(qū)間”．
綜上，函數(shù)f（x）有兩個(gè)形如[a，+∞）的“管控區(qū)間”[─1，+∞）和[3，+∞）…（6分）
（2）若存在實(shí)數(shù)a、b使得函數(shù)g（x）=|1─

1

x

|（x＞0）有形如[a，b]的“管控區(qū)間”，則a＞0．
∵g（x）=|1─

1

x

|=

1- 1 x ，(x≥1) 1 x -1(0＜x＜1)

．
∴①當(dāng)a，b∈（0，1）時(shí)，g（x）=

1

x

─1在（0，1）上為減函數(shù)．
故

g(a)=b g(b)=a

⇒

1 a -1=b 1 b -1=a

⇒a=b，與a＜b矛盾．
②當(dāng)a，b∈[1，+∞）時(shí)，g（x）=1─

1

x

在[1，+∞）上為增函數(shù)．
故

g(a)=a g(b)=b

即

1- 1 a =a a- 1 b =b

，
又a，b是x²-x+1=0的根，但次方程無(wú)解，
故不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b．
③當(dāng)a∈（0，1），b∈[1，+∞）時(shí)，由于1∈[a，b]，而g（1）=0，
綜上，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生求函數(shù)定義域、值域的能力，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性的能力．