Question

若定義在區(qū)間[-2014，2014]上的函數(shù)，f（x）滿足：對于任意的x₁，x₂∈[-2014，2014]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2012，且x＞0時，有f（x）＞2012，若f（x）的最大值、最小值分別為M，N，則M+N的值為（　�。�

• A、4024
• B、2013
• C、2012
• D、4026

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：根據(jù)：對于任意的x₁，x₂∈[-2014，2014]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2012，
得出f（0）=2012，f（x）+f（-x）=4024，x∈[-2014，2014]恒成立，可判斷f（x）的圖象關于（0，2012）對稱，運用函數(shù)圖象的特殊性可以判斷出答案．

解答： 解：∵對于任意的x₁，x₂∈[-2014，2014]，x₁＜x₂，x₂-x₁＞0，
都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2012，
∴f（x₂-x₁）＞2012，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）-2012
=f（x₂-x₁）-2012＞0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在區(qū)間[-2014，2014]上單調遞增，
∴M=f（2014），N=f（-2014），
∵對于任意的x₁，x₂∈[-2014，2014]，
∴f（0）=2f（0）-2012，即f（0）=2012，
∴f（x-x）=f（x）+f（-x）-2012
即f（x）+f（-x）-2012=f（0），
f（x）+f（-x）=4024
∴M+N的值為4024，
故選：A

點評：本題綜合考察了函數(shù)的性質，思維量較大，屬于難題．