Question

已知函數f（x）=x³-x+a，x∈[-1，1]，a∈R．
（1）求f（x）的極值；
（2）定義在D內的函數y=f（x），若對于任意的x₁，x₂∈D都有|f（x₁）-f（x₂）|＜1，則稱函數y=f（x）為“A型函數”，若是，給出證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：新定義,導數的綜合應用

分析：（1）利用導數求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的極大值和極小值；
（2）由單調性，知f（x）_max-f（x）_min最大，所以只要證明f（x）_max-f（x）_min＜1就行．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-1，當x∈[-1，-

3

3

）和（

3

3

，1]時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
當x∈（-

3

3

，

3

3

）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，∴當x=-

3

3

時，f（x）有極大值f(-

3

3

)=

2 3

9

+a，
當x=

3

3

時，f（x）有極小值f(

3

3

)=-

2 3

9

+a；
（2）f（x）=x³-x+a，x∈[-1，1]是“A型函數”，
f（-1）=f（1）=a，又由（1）知a-

2 3

9

≤f(x)≤

2 3

9

，
∴f（x）在[-1，1]上的最大值為f(-

3

3

)=

2 3

9

+a，最小值為f(

3

3

)=-

2 3

9

+a，
∴對于任意的x₁，x₂∈D都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（-

3

3

）-f（

3

3

）|=

4 3

9

＜1成立，
∴f（x）=x³-x+a，x∈[-1，1]是“A型函數”．

點評：本題是一道新定義型試題，考查了，函數的極值，最值，恒成立問題，等價轉化思想，屬于中檔題．