Question

已知f（x）的定義域?yàn)镽，滿足f（x）=-f（-x），且x＞0時，f（x）=2x-x²．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在正數(shù)m、n，當(dāng)x∈[m，n]時，g（x）=f（x），且g（x）的值域?yàn)閇

1

n

，

1

m

]．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，運(yùn)用求解f（x）=-f（-x），且x＞0時，f（x）=2x-x²．（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類求解
．

解答： 解：（1）∵f（x）的定義域?yàn)镽，滿足f（x）=-f（-x），∴f（0）=0
∵x＞0時，f（x）=2x-x²．
∴設(shè)x＜0，則-x＞0，
∴f（x）=-f（-x）=-[-2x-x²]=x²+2x，（x＜0）
∴f（x）=

2x-x2，x≥0 x2+2x，x＜0

，
（2）g（x）=2x-x²，x＞0
（Ⅱ）g（x）=f（x）=2x-x²=-（x-1）²+1≤1，
又m＞0，n＞0，
∴

1

m

≤1，m≥1，即1≤m＜n，f（x）為減函數(shù)，
于是

1

n

=g（n）=-n²+2n，即（n-1）（n²-n-1）=0，
∴

1

m

=g（m）=-m²+2m，即（m-1）（m²-m-1）=0，
∵1≤m＜n，
∴m=1，n=

1+ 5

2

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論的思想，屬于中檔題．