Question

16．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（ t為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C的坐標(biāo)方程是ρsin²θ-6cosθ=0．
（1）求曲線 C的直角坐標(biāo)方程以及直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）求直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求|MN|的值．

Answer 1

分析 （1）由ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程；先把直線l的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，再由ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出直線l的極坐標(biāo)方程．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=6x}\\{2\sqrt{3}x-2y-3\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，得${y}^{2}-2\sqrt{3}y-9$=0，由此利用弦長公式能求出|MN|的長．

解答 解：（1）∵曲線C的坐標(biāo)方程是ρsin²θ-6cosθ=0，
∴ρ²sin²θ-6ρcosθ=0，
∵ρsinθ=y，ρcosθ=x，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=6x．
∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（ t為參數(shù)），
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為$2\sqrt{3}x-2y-3\sqrt{3}$=0，
∵ρsinθ=y，ρcosθ=x，
∴直線l的極坐標(biāo)方程為2$\sqrt{3}ρ$cosθ-2ρsinθ-3$\sqrt{3}$=0．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=6x}\\{2\sqrt{3}x-2y-3\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，得${y}^{2}-2\sqrt{3}y-9$=0，
$△=（-2\sqrt{3}）^{2}+4×9$=48＞0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=2$\sqrt{3}$，y₁y₂=-9，
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+3}$•$\sqrt{12+36}$=8$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查曲線直角坐標(biāo)方程、直線的極坐標(biāo)方程的求法，考查兩線段和的求法，考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．