Question

4．已知函數f（x）=ln（1+x²）+ax（a≤0）
（1）若f（x）在x=0處取極值，求a的值；
（2）討論f（x）的單調性；
（3）證明：$（1+\frac{1}{3}）（1+\frac{1}{9}）…（1+\frac{1}{3^n}）＜e\sqrt{e}$（  e為自然對數的底數，n∈N^*）．．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，根據f′（0）=0，求出a的值，檢驗即可；（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間即可；（3）結合（2）得到ln（1+x²）＜x，累加即可．

解答 解：（1）∵${f^/}（x）=\frac{2x}{{1+{x^2}}}+a$，
又∵x=0是f（x）的一個極值點，
∴f′（0）=0，∴a=0，驗證知a=0符合條件．
（2）∵${f^/}（x）=\frac{2x}{{1+{x^2}}}+a=\frac{{a{x^2}+2x+a}}{{1+{x^2}}}$
①若a=0時，∴f（x）在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）單調遞減；
②若$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\△≤0\end{array}\right.$得，當a≤-1時，f′（x）≤0對x∈R恒成立，
∴f（x）在R上單調遞減．
③若-1＜a＜0時，由f′（x）＞0得ax²+2x+a＞0
∴$\frac{{-1+\sqrt{1-{a^2}}}}{a}＜x＜\frac{{-1-\sqrt{1-{a^2}}}}{a}$
再令f′（x）＜0，可得$x＞\frac{{-1-\sqrt{1-{a^2}}}}{a}或x＜\frac{{-1+\sqrt{1-{a^2}}}}{a}$
∴f（x）在$（\frac{{-1+\sqrt{1-{a^2}}}}{a}，\frac{{-1-\sqrt{1-{a^2}}}}{a}）$上單調遞增，
在$（-∞，\frac{{-1+\sqrt{1-{a^2}}}}{a}）和（\frac{{-1-\sqrt{1-{a^2}}}}{a}，+∞）$上單調遞減
綜上所述，若a≤-1時，f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減；
若-1＜a＜0時，f（x）在$（\frac{{-1+\sqrt{1-{a^2}}}}{a}，\frac{{-1-\sqrt{1-{a^2}}}}{a}）$上單調遞增，
在$（-∞，\frac{{-1+\sqrt{1-{a^2}}}}{a}）和（\frac{{-1-\sqrt{1-{a^2}}}}{a}，+∞）$上單調遞減；
若a=0時，f（x）在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）單調遞減．
證明：（3）由（2）知，當a=-1時，f（x）在（-∞，+∞）單調遞減
當x∈（0，+∞）時，由f（x）＜f（0）=0∴l(xiāng)n（1+x²）＜x，
∴$ln（1+x）＜\sqrt{x}$，
$\begin{array}{l}ln[{（1+\frac{1}{3}）（1+\frac{1}{9}）…（1+\frac{1}{3^n}）}]=ln（1+\frac{1}{3}）+ln（1+\frac{1}{9}）+…ln（1+\frac{1}{3^n}）\\＜\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{\frac{1}{9}}+…+\sqrt{\frac{1}{3^n}}=\frac{{\frac{1}{{\sqrt{3}}}（1-{{（\frac{1}{{\sqrt{3}}}）}^n}）}}{{1-\frac{1}{{\sqrt{3}}}}}=\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}＜\frac{3}{2}\\∴（1+\frac{1}{3}）（1+\frac{1}{9}）…（1+\frac{1}{3^n}）＜{e^{\frac{3}{2}}}.\end{array}$

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及不等式的證明，考查轉化思想、分類討論思想，是一道綜合題．