Question

如圖，幾何體中，為邊長(zhǎng)為的正方形，為直角梯形，，，，，．

（1）求異面直線(xiàn)和所成角的大小；
（2）求幾何體的體積．

Answer 1

(1)；（2）．

解析試題分析：（1）求異面直線(xiàn)所成的角，一般根據(jù)定義，過(guò)異面直線(xiàn)中的一條上某一點(diǎn)作中一條直線(xiàn)的平行線(xiàn)，把異面直線(xiàn)所成的角化為相交直線(xiàn)所夾的銳角或直角，而這可能通過(guò)在三角形中求得,如果圖形中有兩兩相互垂直且交于同一點(diǎn)的三條直線(xiàn)，那么我們可以建立空間直角坐標(biāo)系，把異面直線(xiàn)所成的角轉(zhuǎn)化為空間兩向量的夾角，要注意異面直線(xiàn)所成的角的范圍是，而向量的夾角范圍是，解題時(shí)注意轉(zhuǎn)化；（2）這個(gè)幾何體我們要通過(guò)劃分，把它變成幾個(gè)可求體積的幾何體，如三棱錐和四棱錐，這兩個(gè)棱錐的體積都易求，故原幾何體的體積也易求得．
試題解析：（1）解法一：在的延長(zhǎng)線(xiàn)上延長(zhǎng)至點(diǎn)使得,連接.
由題意得，，，平面，
∴平面，∴，同理可證面.

∵，，
∴為平行四邊形，
∴.
則（或其補(bǔ)角）為異面直線(xiàn)和
所成的角.      3分
由平面幾何知識(shí)及勾股定理可以得

在中，由余弦定理得
．
∵異面直線(xiàn)的夾角范圍為，
∴異面直線(xiàn)和所成的角為．      7分
解法二：同解法一得所在直線(xiàn)相互垂直，故以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)
分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，      2分

可得，
∴，
得.      4分
設(shè)向量夾角為，則
．
∵異面直線(xiàn)的夾角范圍為，
∴異面直線(xiàn)和所成的角為．      7分
（２）如圖，連結(jié)，過(guò)作的垂線(xiàn)，垂足為，則平面，且.
9分

∵     11分
.
∴幾何體的體積為.  14分
考點(diǎn)：（1）異面直線(xiàn)所成的角；（2）幾何體的體積．